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第4题

单于与花木兰在玩一个游戏。设 θ\theta 为双方已知的一个角，满足 0∘<θ<180∘0^\circ<\theta<180^\circ。起初，单于按自己选择的尺寸制作一个纸三角形 TT。随后他们重复进行以下步骤:若 TT 至少有一个角恰好等于 θ\theta，则游戏停止且花木兰获胜;否则，花木兰在 TT 的周界上选取异于三个顶点的一点 PP，并从 PP 向 TT 的对顶点笔直剪一刀，将其分成两个三角形;单于丢弃其中一个三角形，剩下的三角形作为新的 TT。对哪些实数 θ\theta，无论单于如何应对，花木兰都能保证在有限步内获胜？
第 1/4 步：任何等于 kθ 的角都是花木兰的必胜态
上一步下一步
angle kθ (k≥1) ⟹cut into θ+(k−1)θ Mulan wins in at most k−1 cuts\text{angle }k\theta\ (k\ge1)\ \stackrel{\text{cut into }\theta+(k-1)\theta}{\Longrightarrow}\ \text{Mulan wins in at most }k-1\text{ cuts}
详细分析

我们对 k≥1k\ge1 归纳证明:从任何含有一个等于 kθk\theta 的角的三角形出发，花木兰都能获胜。当 k=1k=1 时游戏立即结束。当 k≥2k\ge2 时，花木兰从角 kθk\theta 的顶点向对边剪一刀，将该角分成 θ\theta 与 (k−1)θ(k-1)\theta:若单于保留含角 θ\theta 的那一块，花木兰立即获胜;若单于保留含角 (k−1)θ(k-1)\theta 的那一块，由归纳假设花木兰至多再剪 k−2k-2 刀即可获胜。