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解法: ミリン予想を経由したド・ブランジュによるビーバーバッハ予想の証明(1984年)

ステップ 1/8: 予想と極値を与えるケーベ関数を述べる
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ざっくり言うと

関数 ff が単位円板上で単葉(一対一)であるとは、二つの異なる点を決して同じ場所に送らないことをいう。ゴムの膜を伸ばし曲げても決して自分自身に折り重ならないようなものである。ビーバーバッハの1916年の予想は、そのような関数を f(z)=z+a2z2+a3z3+⋯f(z) = z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + \cdots の形に正規化したとき、各係数 ana_n の大きさが決して nn を超えないと述べた。

この評価は最良である:円板を負の実軸に沿ったスリットを除く平面全体へと引き伸ばすケーベ関数 k(z)=z(1−z)2k(z) = \frac{z}{(1-z)^2} は、すべての nn に対してちょうど an=na_n = n を達成し、したがって nn より良い評価は決して成り立ち得ない。

∣an∣≤n for univalent f(z)=z+∑n=2∞anzn on ∣z∣<1,equality only for rotations of k(z)=z(1−z)2|a_n| \le n \ \text{for univalent} \ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n \ \text{on} \ |z|<1, \quad \text{equality only for rotations of} \ k(z) = \frac{z}{(1-z)^2}
詳しい解説

1916年、Ludwig Bieberbachは、開単位円板 {z∈C:∣z∣<1}\{z \in \mathbb{C} : |z| < 1\} 上のすべての単葉(単射)正則関数 f(z)=z+∑n=2∞anznf(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n が、すべての n≥2n \ge 2 に対して ∣an∣≤n|a_n| \le n を満たし、等号は円板を −∞-\infty から −14-\tfrac{1}{4} までの負の実軸に沿ったスリットを除く平面全体へ写すケーベ関数 k(z)=z(1−z)2k(z) = \frac{z}{(1-z)^2} の回転の場合に限ると予想した。

nn 番目の係数への直接的な攻略は場合ごとにしか成功しなかった:ビーバーバッハ自身が n=2n=2(1916年)、Karl Loewnerが n=3n=3(1923年、そのために自身の微分方程式を発明した)、GarabedianとSchifferが n=4n=4(1955年)、そして1972年までに n=6n=6 までの場合。すべての nn を同時に扱える方法は見当たらず、予想は68年間未解決のままであった。

最終的にLouis de Branges が1984年に見つけた証明は、各 nn について ∣an∣≤n|a_n| \le n を直接攻略するものではない。代わりに、別の係数の組についてのIsaak Milinによるより強い、一様な予想を証明し、それがすべてのビーバーバッハの評価を一度に強制する——それが次のステップの主題である。

このステップの用語
単葉関数
領域(ここでは単位円板)上の正則関数 ff が単射である、すなわち f(z1)=f(z2)f(z_1) = f(z_2) となるのは z1=z2z_1 = z_2 のときに限られ、二つの異なる点を同じ像に写すことは決してない。
ケーベ関数
関数 k(z)=z(1−z)2=∑n=1∞nznk(z) = \frac{z}{(1-z)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n z^n。ビーバーバッハ予想においてすべての nn に対して等号 ∣an∣=n|a_n| = n を達成する、(回転を除いて)唯一の極値例である。
このステップで使う知識
複素関数論