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解法: ミリン予想を経由したド・ブランジュによるビーバーバッハ予想の証明(1984年)

ステップ 6/8: アスキー・ガスパーの不等式が欠けていた正値性を与える
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ざっくり言うと

AskeyとGasperは、β≥0\beta\ge0、α+β≥−2\alpha+\beta\ge-2、−1≤x≤1-1\le x\le1 のときのヤコビ多項式の正値性 ∑j=0mPj(α,β)(x)Pj(β,α)(1)≥0\sum_{j=0}^{m} \frac{P_j^{(\alpha,\beta)}(x)}{P_j^{(\beta,\alpha)}(1)}\ge0 を証明した。de Brangesの係数計算ではパラメータがこの定理の範囲に入り、Step 5に必要な符号 Φn′(t)≤0\Phi_n'(t)\le0 が得られる。よく書かれる有限 3F2{}_3F_2 形式は同値な特殊化であり、条件なしの任意のパラメータに対する不等式ではない。

∑j=0mPj(α,β)(x)Pj(β,α)(1)≥0(β≥0, α+β≥−2, −1≤x≤1)(Askey–Gasper, 1976)\sum_{j=0}^{m} \frac{P_j^{(\alpha,\beta)}(x)}{P_j^{(\beta,\alpha)}(1)} \ge 0 \qquad (\beta\ge0,\ \alpha+\beta\ge-2,\ -1\le x\le1) \quad \text{(Askey--Gasper, 1976)}
詳しい解説

AskeyとGasperは、β≥0\beta\ge0、α+β≥−2\alpha+\beta\ge-2、−1≤x≤1-1\le x\le1 のときのヤコビ多項式の正値性 ∑j=0mPj(α,β)(x)Pj(β,α)(1)≥0\sum_{j=0}^{m} \frac{P_j^{(\alpha,\beta)}(x)}{P_j^{(\beta,\alpha)}(1)}\ge0 を証明した。de Brangesの係数計算ではパラメータがこの定理の範囲に入り、Step 5に必要な符号 Φn′(t)≤0\Phi_n'(t)\le0 が得られる。よく書かれる有限 3F2{}_3F_2 形式は同値な特殊化であり、条件なしの任意のパラメータに対する不等式ではない。

このステップの用語
超幾何関数 3F2{}_3F_2
三つの「上部」パラメータと二つの「下部」パラメータを持つ一般化超幾何級数で、多くの組合せ論的な和や直交多項式の恒等式を特別な場合として含む古典的な特殊関数である。
アスキー・ガスパーの不等式
Richard AskeyとGeorge Gasperによる1976年の、3F2{}_3F_2 超幾何和の族に関する正値性の結果。もともとは正定値関数についての問いのために証明されたが、ド・ブランジュの証明に欠けていた要素そのものであることが判明した。
このステップで使う知識
特殊関数