解法: ミリン予想を経由したド・ブランジュによるビーバーバッハ予想の証明(1984年)
ざっくり言うと
微分により、 の単調性は特殊関数の符号問題になる。ヤコビ多項式は適切な座標を与えるが、結論は各部分ではなく結合された式に対して成り立つ。
詳しい解説
Loewner鎖に沿って汎関数全体 を微分すると、ヤコビ多項式の有限な線形結合が現れる。de Brangesの計算では、必要な符号 が、ここで生じる特定のパラメータ範囲でのAskey--Gasperの正値性定理から従う。無関係な各項が個別に非正だという主張ではない。
- ヤコビ多項式
- 二つのパラメータに依存する古典的な直交多項式の族 で、特殊関数論、球面調和関数、超幾何級数の理論で広く使われる。ここでは導関数 を展開し単純化するために使われる。