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解法: ミリン予想を経由したド・ブランジュによるビーバーバッハ予想の証明(1984年)

ステップ 2/8: 係数評価を対数係数に関するミリンの不等式へ帰着する
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ざっくり言うと

無限個の係数 ana_n を一つずつ制御する代わりに、Isaak Milinは、まず f(z)/zf(z)/z の対数を取ることで得られる別の関連した数列——対数係数 γk\gamma_k——を制御することを提案し、すべての γk\gamma_k に関する単一の重み付き不等式が、すべてのビーバーバッハの評価を同時に強制することを示した。

対数を取ることは、繊細で個々の係数の問題を、より寛容な「平均化された」主張へと変える。それは、光源のすべての個々の光線の正確な形を制御するよりも、総明るさを制御する方が易しいことがあるのと同じである。

∣an∣≤nfollows from∑k=1n(n+1−k) k(∣γk∣2−1k2)≤0|a_n| \le n \quad\text{follows from}\quad \sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\,k\left(|\gamma_k|^2 - \frac{1}{k^2}\right) \le 0
詳しい解説

1971年、イサーク・ミリンは、単葉関数 f(z)=z+∑n=2∞anznf(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n に対して log⁡(f(z)/z)=2∑k=1∞γkzk\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k で定義される対数係数 γk\gamma_k が ∑k=1n(n+1−k) k(∣γk∣2−1k2)≤0\sum_{k=1}^{n} (n+1-k)\,k\left(|\gamma_k|^2 - \frac{1}{k^2}\right) \le 0 を満たすという予想を立てた。レーベデフ・ミリンの指数化不等式により、この評価は奇単葉関数に関するM・S・ロバートソンの1936年の予想を導き、それがさらにすべての単葉関数 ff に対するビーバーバッハの評価 ∣an∣≤n|a_n| \le n を導く。

nn 番目の係数評価への直接的なアプローチは小さな nn に対してのみ成功していた。ミリンによる再定式化は、この問題を、対数係数 γk\gamma_k を静的な代数的恒等式ではなく何らかの動的な過程を通じて制御できさえすれば、すべての nn に対して一様に攻略できる単一の単調性型の主張に変換した。

その動的な過程を与えるのが、次のステップで扱うKarl Loewnerの1923年のスリット写像理論である。

このステップの用語
対数係数 γk\gamma_k
単葉関数 ff のべき級数 log⁡(f(z)/z)=2∑k=1∞γkzk\log(f(z)/z) = 2\sum_{k=1}^\infty \gamma_k z^k における係数 γk\gamma_k。同じ関数の別の記帳法であり、係数 ana_n を直接扱うよりも扱いやすいことがわかる。
このステップで使う知識
複素関数論