解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

Cassels(1960年)は $q\mid x$ かつ $p\mid y$ を証明し、さらにある非零整数 $a$ と正の整数 $v$ に対して $x-1=p^{q-1}a^q$、$y=pav$ という正確な因数分解を、そしてある非零整数 $b$ と正の整数 $u$ に対して対称な関係式 $y+1=q^{p-1}b^p$、$x=qub$ を示した(Bilu 2004年、第2節、命題2.1)。体 $K=\mathbb{Q}(\zeta)$ において $\zeta$ を原始 $p$ 乗根とする簡単な計算により、代数的数 $\eta=(x-\zeta)/(1-\zeta)$ が代数的整数であり、その単項イデアルが $K$ のあるイデアルの $q$ 乗であることが示される(Bilu 2004年、第2節、系2.2)——これは、単なる初等的な数論ではなく円分体の数論こそが正しい道具であるという最初の手がかりである。

これらの関係式はすでに、弱いながらも明示的な下界を与える:$|x|>p^{q-1}-1$ と $|y|>q^{p-1}-1$ が直ちに従い、Hyyrö(1964年)による精密化がこれを大幅に改善する(Bilu 2004年、第2節)。したがって、カタランの方程式の仮想的などんな解も、$p,q$ 自身が大きくない限り、途方もなく大きな数を含まなければならない——これは、可能な組 $(p,q)$ を評価し、最終的には排除するという戦略を指し示している。

次のステップはこの描像を劇的に精密化する。まず超越数論(Tijdeman)による有効な評価によって、次にミハイレスク自身が発見したはるかに精密な数論的判定条件によって。