解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

ステップ1〜6を組み合わせる:背理法のため、カタランの方程式 $x^p-y^q=1$ が非零整数 $x,y$ と奇素数 $p,q$ で解を持つと仮定する。ステップ2により $q\mid x$、$p\mid y$ であり、$x,y$ は Cassels の明示的な因数分解を満たす。ステップ3により、$p,q$(したがって $x,y$ も)は有効な、ただし途方もなく大きな定数によって有界である。ステップ4により、$(p,q)$ は二重ヴィーフェリッヒ対でなければならない;ステップ5により、さらに $p\not\equiv1\pmod q$ かつ $q\not\equiv1\pmod p$ である。ステップ6の加群論的な議論は、Thaine の定理を通じて、上記すべてを満たす組 $(p,q)$ は実際には起こり得ないことを示す——仮想的な解から作られる加群 $M$ は、($x,y,p,q$ がすべて非自明であるから)非零であることと(零化イデアルの計算により)ゼロであることの両方を強制され、矛盾する(Bilu 2004年、第6–9節、定理1.3の証明で頂点に達する)。

したがって、カタランの方程式 $x^p-y^q=1$ は非零整数と奇素数 $p,q$ において解を一切持たない——これがミハイレスクの定理1.3であり、2002年に初めて発表され、2004年に Journal für die reine und angewandte Mathematik(クレレの雑誌)に完全な詳細とともに出版された。ステップ1からの Lebesgue の定理($v=2$ の場合)と Ko Chao の定理($u=2$ の場合)と組み合わせると、これにより1844年の元の予想が完全に確立される:$x^u-y^v=1$ は整数 $x,y,u,v>1$ の範囲でただ一つの解、すなわち $3^2-2^3=1$ しか持たない。

カタラン予想——単一の数学者による証明で解決された、数論において最も長く未解決であった名前付き予想の一つ——は、現在では正しくミハイレスクの定理と呼ばれている。