解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

Thaine の定理(1988年)は明示的な零化子を特定する:これまでと同じ Stickelberger 型の組合せ論から作られる元が、類群(古典的な Stickelberger の定理が述べる通り)だけでなく、実部分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ の実際の単数を法とする円分単数の群から作られる、関連するより精密な加群も零化することが示される(Bilu 2004年、第5節、Thaine の「実アーベル数体のイデアル類群について」を引用)。これは Stickelberger の定理より厳密に強く、それまでのカタランの方程式へのいかなる攻撃も利用していなかった、欠けていた材料であった。

ミハイレスクの中心的な技術的到達点(Bilu 2004年、第6節、定理1.3を論文の最終節で証明されるさらに三つの技術的な主張に帰着させる)は、仮想的な解 $(x,y,p,q)$ から、円分単数から作られる特定の $\mathbb{Z}[G]$-加群 $M$ を構成し——ステップ4の二重ヴィーフェリッヒの関係式とステップ5の $p\not\equiv1\pmod q$ を用いて——$M$ の零化イデアルが、その特定の形の非零加群に対して Thaine の定理が許すよりも多くの群環の元を含まなければならないことを示すことである。矛盾を避ける唯一の方法は $M$ がゼロ加群であることであり、それは $x=\pm1$ あるいは同等の退化を強制する——$x,y,p,q$ がすべて非自明である真の解にとってはあり得ないことである。

これが、概略として、いかなる二重ヴィーフェリッヒ対 $(p,q)$(したがって指数の組そのもの)も $x^p-y^q=1$ の解を支えられない理由である:Stickelberger と Thaine の定理によって制御される円分単数の数論は、それを許すにはあまりにも硬直的なのである。ミハイレスクはこの結果を2002年に発表し、完全な議論を2004年にクレレの雑誌で公表した。