解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

Baker の理論(1960年代から)は、代数的数 $\alpha_i$ と整数係数 $b_i$ による非零の「対数形式」$\Lambda=b_1\log\alpha_1+\cdots+b_n\log\alpha_n$ に対する $|\Lambda|$ の明示的な下界を与える。これは $\Lambda\ne0$ だけから得られる自明な評価を凌駕するほど強力である(Bilu 2004年、第4.1節)。Tijdeman の洞察(1976年)は、これをカタランの方程式自体から作られる対数形式、たとえば $\Lambda=q\log|y+1|-p\log|x|$ に適用し、Cassels の関係式を用いて関連する補助量を制御することであった(Bilu 2004年、第4.2–4.3節)。

得られた下界を、方程式から直接導かれる自明な上界と比較すると、$p$ と $q$ の間の不等式(おおよそ $p\ll q\log q\log p$ および対称的に $q\ll (\log p)^2\log q$)が強制され、これらを合わせると両方の指数に対する絶対的で有効な上界が得られ——したがって Cassels を再び通じて $x,y$ に対する上界も得られる(Bilu 2004年、第4.2節、式15–17)。Langevin(1977年)、後に O'Neil と Mignotte による明示的な数値計算により、この上界は年月をかけて $p\le 7.8\times10^{16}$ のような具体的な数まで下げられた。

これは真の画期的成果である——カタラン問題は原理的には「決定可能」になった——しかし Tijdeman の上界だけではコンピュータで検証するにはあまりにも大きすぎる。実際に証明を完結させる突破口には、より鋭い純粋に代数的なアイデアが必要であり、それが次のステップにおけるミハイレスクの貢献である。