解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

Inkeri の判定条件(1990年代)は、カタランの方程式の可解性を、$\mathbb{Q}(\zeta_p)$ に関連する補助的な体 $K_p$ の類数と結びつけていた——原理的には強力だが、類数の計算は非常にコストが高く、数値的にどこまで押し進められるかを制限していた(Bilu 2004年、第3節、定理3.1)。ミハイレスクの最初の論文(1999年)は、より強い「類数不要」の判定条件を証明した:カタランの方程式のいかなる解に対しても、$q^2\mid x$ かつ $p^{q-1}\equiv1\pmod{q^2}$ が成り立つ——後者は今日ヴィーフェリッヒの関係式と呼ばれる(Bilu 2004年、第3節、定理3.2)。

この証明(Bilu 2004年、第3.1節)は円分体 $K=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ の内部で行われる:Stickelberger イデアル $I$(群環 $\mathbb{Z}[G]$、$G=\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ の特定のイデアルであり、古典的な Stickelberger の定理により $K$ の類群を零化することが知られている)を用い、ミハイレスクは($\sigma$ を複素共役として)適切な $\theta\in(1-\sigma)I$ に対して、代数的数 $(x-\zeta)^\theta$ が単数根を除いてちょうど $q$ 乗であることを示す。この等式を $q^2$ を法として注意深く整理すると、$q^2\mid x$ と合同式 $p^{q-1}\equiv1\pmod{q^2}$ の両方が強制される。

カタランの方程式の対称性により、鏡像の主張 $q^{p-1}\equiv1\pmod{p^2}$ も成り立つ。両方を満たす組 $(p,q)$ は二重ヴィーフェリッヒ対と呼ばれる。この純粋に数論的で計算コストの低い判定条件こそが、Mignotte と Roy がコンピュータでいかなる解も $\min\{p,q\}>10^7$ を必要とすることを確認できた理由である(Bilu 2004年、第4.4節)——しかし解の指数は依然として、何らかの形で完全に排除されなければならず、それが残された課題である。