解法: 円分体を用いたミハイレスクによるカタラン予想の証明(2002年)

ミハイレスクの証明は、後で繰り返し使われる技術的な前提条件として、カタランの方程式のいかなる解に対しても $p\not\equiv1\pmod q$ であるという事実を必要とする(Bilu 2004年、第4節、定理4.1)。逆に $p\equiv1\pmod q$ を仮定すると、ステップ4のヴィーフェリッヒの関係式によりこれは $p\equiv1\pmod{q^2}$ へと強化される。$p$ は奇数であるから、これは $p=q^2+1$ と $p=3q^2+1$ を排除し、$p=2q^2+1$ はそのとき $3$ で割り切れることから排除され(Mignotte による観察)、$p>4q^2+1$ が残る(Bilu 2004年、第4.5節)。

一方、Tijdeman の不等式の明示的な精密化(二変数対数形式に関するより鋭い Laurent–Mignotte–Nesterenko の上界による)は、$q>28000$ であるとき常に $p\le 4q^2$ を示す(Bilu 2004年、第4.5節、命題4.5.1)——これは $p>4q^2+1$ と直接矛盾する。これにより、確認すべき小さな $q\le 28000$ が有限個しか残らず、ミハイレスクは短いコンピュータ検証によってこれを行った(Bilu 2004年、注記4.2、約1分間動作する PARI スクリプトを記述)。

$p\not\equiv1\pmod q$(そして同じ論法により対称的に $q\not\equiv1\pmod p$)がこうしてしっかりと確立され、残るすべての二重ヴィーフェリッヒ対を最終的に純粋代数的に排除する舞台が整った。