解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

与えられた円に内接する正 $n$ 角形を定規とコンパスで作図することは、中心角 $2\pi/n$ を作図することと同値であり、それは $\cos(2\pi/n)$ を作図することと、複素数の言葉で言えば1の原始 $n$ 乗根 $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ を作図することと同値である。古代の作図法は $n=3,4,5,6,8,10,12,15,\ldots$(三角形、正方形、五角形、およびそれらの角の二等分や組み合わせによる変種)を扱えたが、二千年間、根本的に新しい奇数の場合は見つからなかった。

カール・フリードリヒ・ガウスは1796年にこれを打ち破り、詳細を『算術研究』(1801年、第VII章)で公表した。$n=17$ の場合、関連する代数量 $\zeta_{17}$ は円分方程式 $1+\zeta_{17}+\zeta_{17}^2+\cdots+\zeta_{17}^{16}=0$、次数 $16$ の方程式を満たす。ガウスは $16=2^4$ であること、そして決定的なことに $17-1=16$ 自体が $2$ の冪であることに気づいた——この数値上の一致こそが、後のステップで明確にされるように、この多角形を作図可能にする理由である。

ガウスの方法(ステップ2〜4)は、$17$ 乗根のうち非自明な $16$ 個を、周期と呼ばれる入れ子状の和にまとめ、それぞれが前段階上の二次方程式を満たすようにする。残りのステップ(5〜6)は、このパターン——ひいては作図可能性——が、$n$ のオイラーのトーシェント関数 $\varphi(n)$ が $2$ の冪であるかどうかにのみ依存する理由を示す。