解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

与えられた円に内接する正 $n$ 角形を定規とコンパスで作図することは、円を $n$ 個の等しい弧に分割すること — すなわち中心角 $2\pi/n$ を作図すること、あるいは座標では実の長さ $\cos(2\pi/n)$ を作図すること — と同値である。複素平面では、これは原始1の冪根 $\zeta_n = e^{2\pi i/n}$ を作図することを意味する。ユークリッドの『原論』はすでに正三角形、正方形、正五角形 ($n = 3, 4, 5$) の作図法、角の二等分による辺数の倍化 ($6, 8, 10, 12, 16, \ldots$)、および互いに素な場合の合成 ($3$ と $5$ からの $n = 15$) を示していた。二千年以上もの間、このリストに新しい奇素数は一つも追加されなかった。

1796年3月30日、19歳のカール・フリードリヒ・ガウスが正 $17$ 角形が作図可能であることを発見した — 古代以来、奇数個の辺を持つ新しい作図可能正多角形としては最初のものだった。この結果は彼の『数論研究』(1801年)の第7章に掲載された。発見は幾何学的な試行によるものではなかった。ガウスは問題を円分方程式 $x^{16} + x^{15} + \cdots + x + 1 = 0$ の代数へと翻訳した。その次数は $\varphi(17) = 16 = 2^4$ である。

$17 - 1 = 16 = 2^4$ という数値的一致が発見全体の要である。$16$ が $2$ の冪であるため、$16$ 個の根は連続する半分へと分割できる — 二つの $8$ 項周期、四つの $4$ 項周期、八つの $2$ 項周期 — 各段は前の段で定まる係数を持つ二次方程式を満たす。残りのステップはこの階層をガウスの明示的な公式からすべての $n$ に対する一般的なガウス–ヴァンツェルの判定条件まで辿る。