解法: ガウス=ヴァンツェルの定理:円分体による正多角形の作図可能性

ガウスの発見は1796年3月30日の日記に記録されており、それは彼の生涯にわたる数学日記の最初の記入となった。彼は後に、二千年以上にわたって誰も定規とコンパスに結びつけなかった図形を作図できたこの結果が、文献学ではなく数学へと進む彼の進路を決定づけたと書いている。彼は自分の墓石に正 $17$ 角形を刻んでほしいと頼んだが、石工は円と区別がつかないと判断し、代わりに $17$ 芒星を用いた。

既知の5つのフェルマー素数は $F_0=3,\ F_1=5,\ F_2=17,\ F_3=257,\ F_4=65537$(フェルマー数 $F_s=2^{2^s}+1$)である。オイラーはすでに1732年に、次の候補 $F_5=2^{32}+1=4294967297$ が合成数($=641\times6700417$)であることを示し、それ以降非常に大きな $s$ に至るまで確かめられた $F_s$ はすべて合成数であることがわかっている。さらなるフェルマー素数が存在するかどうかは知られておらず、この証明から直接受け継がれた未解決問題である。

同じ論文の中で角の三等分と立方体倍積を解決したことと合わせて、1837年のヴァンツェルによるガウスの定理の完成は、ガロア理論が現代的な形をとる直前に発展した体の次数の議論によって、古代の古典的な作図問題のうち3つが完全かつ厳密に決着したことを意味した。残るは円積問題だけであり、$\pi$ が超越数であることを示す1882年のリンデマンの証明を待つことになった。