フェルマーの最終定理

解決済み、1994年算術と数論

問題の内容

すべての整数 $n > 2$ に対して、ディオファントス方程式 $x^n + y^n = z^n$ は正の整数解 $x, y, z$ を持たない。

アンドリュー・ワイルズは1993年6月、ケンブリッジのニュートン研究所で半安定楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユのモジュラー性予想を確立する証明を発表した。これはゲルハルト・フライの曲線に関するケン・リベットの1986年の定理により、フェルマーの最終定理を含意する。しかし査読の過程で、ニック・カッツがセルマー群を制御するためのオイラー系の評価に微妙な欠陥を発見した。ワイルズはかつての教え子リチャード・テイラーと協力し、ヘッケ環とガロア変形環に対するテイラー・ワイルズの方法を開発してこの障害を乗り越え、1994年9月に修正された証明を完成させた。この結果は1995年5月、『Annals of Mathematics』誌に2本の連作論文（ワイルズ単著の主論文とテイラー・ワイルズ共著の論文）として掲載された。

提起者, 1637ピエール・ド・フェルマー解決者, 1994アンドリュー・ワイルズ

テイラー・ワイルズによるモジュラー性持ち上げの手法は代数的整数論を一変させた。2001年にはクリストフ・ブルイユ、ブライアン・コンラッド、フレッド・ダイアモンド、リチャード・テイラーがワイルズの仕事を拡張し、 $\mathbb{Q}$ 上のすべての楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユのモジュラー性定理を完全に証明した。さらにチャンドラシェカール・カレとジャン＝ピエール・ウィンテンベルガー（2009年）はセールのモジュラー性予想を証明し、これもフェルマーの最終定理を直接導く。一般化されたフェルマー方程式 $Ax^p + By^q = Cz^r$ は双曲的領域 $1/p + 1/q + 1/r < 1$ においてダルモン・グランヴィルの定理に支配され、ビール予想や $abc$ 予想はさらに広範なディオファントス幾何学的一般化を提示している。

参考文献

Andrew Wiles (1995). Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem · DOI:10.2307/2118559
Richard Taylor, Andrew Wiles (1995). Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras · DOI:10.2307/2118560
Kenneth A. Ribet (1990). On modular representations of Gal(\bar{Q}/Q) arising from modular forms · DOI:10.1007/BF01231195

問題の歴史

1637ピエール・ド・フェルマーは、ディオファントスの『算術』（バシェによるラテン語訳）の余白に、立方数を2つの立方数の和に分けることはできず、一般に $n > 2$ のべき乗を同じ次数の2つのべき乗の和に分けることはできないと書き残し、「驚くべき証明」を見つけたが余白が狭すぎて書けないと記した。今日残っているのは、無限降下法による $n = 4$ の場合のフェルマー自身の証明のみである。ピエール・ド・フェルマー
1770レオンハルト・オイラーが指数 $n = 3$ の場合の証明を $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ の算術を用いて発表した。一意分解を暗黙に仮定していた部分のギャップは、後にガウス整数およびアイゼンシュタイン整数によって埋められた。レオンハルト・オイラー
1823ソフィー・ジェルマンが、多数の素数指数に一挙に適用できる最初の一般定理を証明した。すなわち $p$ と $2p + 1$ がともに素数ならば、 $x^p + y^p = z^p$ は $p \nmid xyz$ を満たす整数解を持たない（フェルマーの最終定理の第1場合）。ソフィー・ジェルマン
1847エルンスト・クンマーが理想数を導入して円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ におけるイデアルの一意分解を回復し、すべての正則素数 $p$ （ $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ の類数を割り切らない素数）に対してフェルマーの最終定理を証明した。
1984ゲルハルト・フライがオーバーヴォルファッハの研究集会で、仮に反例 $a^p + b^p = c^p$ が存在すれば、半安定楕円曲線 $y^2 = x(x - a^p)(x + b^p)$ が構成でき、その判別式の性質があまりに極端であるためモジュラーになり得ないだろうと示唆した。ジャン＝ピエール・セールはこの関連を厳密にするための $\varepsilon$ 予想を定式化した。
1986ケン・リベットがセールのレベル下げに関する $\varepsilon$ 予想を証明し（1990年出版）、半安定楕円曲線に対する谷山・志村・ヴェイユのモジュラー性予想からフェルマーの最終定理が直接導かれることを確立した。
19937年間にわたる単独研究の末、アンドリュー・ワイルズは6月にケンブリッジで行った3回の連続講演で半安定楕円曲線に対するモジュラー性予想の証明を発表したが、査読中にオイラー系の計算にギャップが見つかった。アンドリュー・ワイルズ
1994アンドリュー・ワイルズとリチャード・テイラーは9月、ヘッケ環に対するテイラー・ワイルズのパッチング法を用いてギャップを修復し、完成原稿を公開した。論文は1995年5月に『Annals of Mathematics』誌に掲載された。アンドリュー・ワイルズ

賞金

ヴォルフスケール賞, 100,000 Goldmark (DM 75,000 in 1997) — 授与済み