解法: Dehn不変量:四面体と立方体はハサミ合同ではない(1900年)

有限個の多角形 $P, Q$ がハサミ合同であるとは、$P$ を直線分によって有限個の多角形片に切り分け、それらを(剛体運動によって)並べ替えることで $Q$ をちょうど敷き詰められることをいう。ウォレス・ボヤイ・ゲルヴィンの定理(ウィリアム・ウォレス、ファルカシュ・ボヤイ、パウル・ゲルヴィンの独立した研究を通じて1833年までに本質的に完成した)は、これが $P$ と $Q$ の面積が等しいとき、かつそのときに限り成り立つことを示す:任意の多角形は三角形分割でき、各三角形は長方形に切り分けられ、同じ総面積を持つ長方形は組み合わせて任意の目標の形に切り直せる。

1900年のパリでの国際数学者会議で提起されたヒルベルトの第三問題は、三次元の類似物を問う:体積が等しいことは、同様に二つの多面体がハサミ合同である(有限個の多面体片に切り分けて剛体運動で組み立て直せる)ために十分か?ヒルベルトは答えは否であろうと予想し、厳密な証明には、体積の他に、分割によって変わらないなんらかの追加の不変量を示す必要があるだろうと示唆した——これはまさに、彼の弟子マックス・デーンが同じ年のうちに実行した戦略である。

この証明の残りの部分では、Dehn不変量を構成し(ステップ2)、それが切断と再組立によって変わらないことを証明し(ステップ3)、体積の等しい二つの具体的な立体——立方体と正四面体——の上でそれを計算して両者が異なることを示し(ステップ4–6)、ヒルベルトの問題に決定的な否定的答えを与え(ステップ6)、ステップ7でSydlerによる1965年の全体像の完成を扱う。