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解法: 3次元の場合:$\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合は次元3をもつ(ワン・ザール、2025年)

ステップ 3/5: 非粘着的な場合:フロストマン違反を探す
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ざっくり言うと

厚みを持たせた掛谷集合 E=⋃TE=\bigcup T が本当にあらゆる場所・あらゆるスケールでちょうど次元 dd をもつならば、任意の点 x∈Ex\in E の周りの球 B(x,ρ)B(x,\rho) は EE から来る体積をおよそ (ρ/δ)dδ3(\rho/\delta)^d\delta^3 だけ含むはずである——多すぎず少なすぎず、これはスケール δ\delta で厚みを持たせた dd 次元集合の自然な「フロストマン」密度である。ワンとザールの鍵となる発想は、問題となる非粘着的な場合には、何らかの球がこの上限密度を破り、予想される量より明らかに多く含むことを示すことである。そのような「フロストマン違反」がある中間スケール ρ\rho で一度見つかれば、短い被覆論法だけで、それが集合 EE 全体に対する望みの改良 K(d+α)K(d+\alpha) へと単独で格上げされる——こうして残りの問題全体は、そのような違反を一つ作り出すことへと帰着される。

∣E∩B(x,ρ)∣≳(ρ/δ)dδ3−α  (a Frostman violation) ⟹ ∣E∣≳ρ−d⋅(ρ/δ)dδ3−α=δ3−d−α|E\cap B(x,\rho)| \gtrsim (\rho/\delta)^{d}\delta^{3-\alpha} \ \ (\text{a Frostman violation}) \ \Longrightarrow\ |E|\gtrsim \rho^{-d}\cdot(\rho/\delta)^d\delta^{3-\alpha} = \delta^{3-d-\alpha}
詳しい解説

形式的には、スケール ρ\rho でのフロストマン違反とは、局所密度が目標とする改良量 α\alpha に対応する因子 δ−α\delta^{-\alpha} だけ dd 次元の予測を上回る球のことである。一度見つかれば、標準的な鳩の巣・被覆論法(カッツ・ワバ・タオの粘着的な場合の論文にすでに存在し、ワン・ザールが精密化したもの)が、そのような単一の局所的違反を大域的な主張 K(d+α)K(d+\alpha) へと格上げする:EE 上に中心をもつ半径 ρ\rho の球 ∼ρ−d\sim\rho^{-d} 個で EE を被覆し、違反した球だけですでに K(d)K(d) が予測する総体積の取り分を上回ることに注意すれば、短い体積計算により総量が δ3−d−α\delta^{3-d-\alpha} を超えることが示される。証明の残りの部分を通して残る課題は、チューブ配置が非粘着的であるときは常にこの違反を見つけ出すことである。