解法: 3次元の場合:$\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合は次元3をもつ(ワン・ザール、2025年)

$E$ を粗く $\delta\times\delta\times\delta$ の立方体で敷き詰める代わりに、ワンとザールは(カッツ・ワバ・タオの粘着性に基づく手法がここでは使えないため、ガスの多項式法的アプローチを粒状性に適用して)、太いチューブ $T_\rho$ 内部のチューブが本質的に互いに素な「粒」——原理的には未知の中間的な寸法 $\delta\times \rho c\times c$ をもち、できる限り大きく取られた平たい直方体——へと組織化されることを示す。ステップ2の無駄の多い太いチューブの多重度 $\mu_{\text{fat}}$ を、これらのよりぴったり合う粒の多重度 $\mu_{\text{coarse}}$ で置き換えると、厳密により良い多重度不等式 $\mu\lesssim\mu_{\text{coarse}}\mu_{\text{fine}}$ が得られる:再スケーリング後、粒が通常の(あるいはより疎な)掛谷配置のように振る舞うならば、$K(d)$ はすでに $\mu_{\text{coarse}}\lesssim \rho^{-d}$ を与え、$\mu_{\text{fine}}$ に対する付随する評価が、粘着的な場合とまったく同様に帰納法をそのまま閉じる。