解法: 3次元の場合:$\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合は次元3をもつ(ワン・ザール、2025年)

$\delta\times\delta\times 1$ の細いチューブを、中間スケール $\delta\ll\rho\ll 1$ で $\rho\times\rho\times1$ の太いチューブへとまとめる。最も好都合な(「粘着的」な)場合には、細いチューブは方向分離が許す限りきつく太いチューブの中に集まるため、各太いチューブは実際に元の配置の再スケール版として振る舞う。$K(d)$ を仮定し、粗いスケール $\rho$ でこれを一度適用すると、1点にどれだけの太いチューブが重なり得るか($\mu_{\text{fat}}$)が評価され、単一の太いチューブに(倍率 $1/\rho$ で)拡大した後に再度適用すると、その内部にどれだけの細いチューブが重なり得るか($\mu_{\text{fine}}$)が評価される。ある点が細いチューブに属するのは、それを含む何らかの太いチューブに属し、かつその太いチューブ内でその細いチューブに属する場合に限られるので、全体の多重度は高々積 $\mu_{\text{fat}}\mu_{\text{fine}}$ となる——そして $K(d)$ を二度適用して得た二つのべき乗評価を掛け合わせると、ちょうど $K(d)$ 自身が再現され、本当の意味での改良 $K(d+\alpha)$ のための余地が残る。