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解法: 3次元の場合:$\mathbb{R}^3$ のすべての掛谷集合は次元3をもつ(ワン・ザール、2025年)

ステップ 5/5: 帰納法を閉じる:厚い角柱と薄い角柱
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ざっくり言うと

残るのは、まさに粒が再スケールしても掛谷様の配置にならない場合である——代わりに、寸法未定のより大きな凸角柱 WW の中に過度に密に('超掛谷'的に)積み重なる。ワンとザールは WW が「厚い」(すべての辺の長さが ≫δ\gg\delta)か「薄い」(厚さ ≈δ\approx\delta)かで場合分けする。WW が厚い場合、さらに繊細なスケールに関する帰納法により、K(d)K(d) がステップ3のフロストマン違反を直接示すのに十分強い「X線」評価へと格上げされることが示される。WW が薄い場合、古典的な平面の L2L^2 論法と粒の超掛谷的な密度が相まって、EE が WW をほぼ完全に埋め尽くすことを強制する——しかしそうなると WW 自体がステップ4でさらに大きな粒として取られていたはずであり、粒が当初選ばれた極大性と矛盾する。したがってすべての配置は帰納法を閉じるいずれかの場合に該当し、あらゆる ε>0\varepsilon>0 について K(3−ε)K(3-\varepsilon) が成り立つ、すなわち R3\mathbb{R}^3 のすべての掛谷集合がハウスドルフ次元・ミンコフスキー次元ともにちょうど 33 であるという証明が完成する。

W=convex prism containing a ‘super-Kakeya’ bundle of grains;thick (min⁡dim⁡W≫δ) vs. thin (min⁡dim⁡W≈δ)W = \text{convex prism containing a `super-Kakeya' bundle of grains}; \qquad \text{thick } (\min\dim W \gg \delta) \ \text{vs.}\ \text{thin } (\min\dim W \approx \delta)
詳しい解説

この場合分け(ワン・ザール2025年、第6–8節、タオのブログ解説の概略に沿う)こそが、127ページの大部分が費やされる箇所である。厚い角柱 WW については、著者らは「X線評価」——チューブ和集合の総体積だけでなく、任意のアフィン平面との交わり方も制御する K(d)K(d) の変種——を証明し、これは WW 内部の超掛谷的な粒の束がステップ3のフロストマン違反を直接強制するのに十分強い。薄い角柱については、初等的な平面 L2L^2 論法(R2\mathbb{R}^2 の証明のステップ3と構造的に同じ計算を、WW のほぼ平面的な断面内部に適用したもの)と超掛谷的な計数を組み合わせることで ∣E∩W∣≳∣W∣1−o(1)|E\cap W|\gtrsim |W|^{1-o(1)} が示され、EE は WW をほぼ埋め尽くす。WW はステップ3で固定された粒の極大サイズより大きいと仮定されていたため、これはその極大性と矛盾し、この場合を排除する。どの配置もこの二択から逃れられないため、スケールに関する帰納法が完成し、あらゆる ε>0\varepsilon>0 について K(3−ε)K(3-\varepsilon) の証明が完了する。