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解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

ステップ 3/6: オイラーの等式で矛盾を仕込む
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ざっくり言うと

π\pi が超越数であることを証明するために、リンデマンは背理法という古典的な手法を用いた:逆を仮定する、つまり π\pi が代数的であると仮定し、そこから不合理な結論を導くのである。オイラーの有名な等式 eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0 はこのための完璧な梃子となる。なぜならそれは π\pi を ee の冪に直接結びつけるからである。

もし π\pi が代数的であれば、それに代数的数 i=−1i=\sqrt{-1} を掛けると別の代数的数 iπi\pi が得られる。オイラーの等式は、この代数的な指数 iπi\pi による ee の冪が −1-1——それ自体代数的な数——に等しいと述べる。しかしエルミートの方法を適切に拡張すると、そんなことは決して起こり得ないことがわかる。

eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0
詳しい解説

背理法のため π\pi が代数的であると仮定する。i=−1i=\sqrt{-1} は x2+1=0x^2+1=0 の根であるから代数的であり、2つの代数的数の積は代数的である(Q\mathbb{Q} 上のそれらの合成体の拡大は有限次元である)から、この仮定のもとで iπi\pi は非零の代数的数となる。

オイラーの等式 eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0、すなわち eiπ=−1e^{i\pi}=-1 は複素解析の定理であり、π\pi が何であろうと無条件に成り立つ:それは exe^x、cos⁡x\cos x、sin⁡x\sin x のべき級数による定義から従い、eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x、したがって eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1e^{i\pi}=\cos\pi+i\sin\pi=-1 が得られる。π\pi が代数的であるという仮定と合わせると、これは非零の代数的数 α=iπ\alpha=i\pi に対して eα=−1e^\alpha=-1 となることを意味し、−1-1 自体も代数的である(x+1=0x+1=0 の根)。

したがって『πは代数的である』という仮定は、非常に具体的な帰結を強制する:ある非零の代数的数 α\alpha(すなわち iπi\pi)について eαe^\alpha が代数的になる、というものである。次のステップでは、この帰結がまさにリンデマンが不可能であると証明したことであり、矛盾が閉じることを示す。