解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

この古典的な問題は、ギリシャ数学において少なくとも紀元前5世紀にまでさかのぼり、与えられた円と同じ面積を持つ正方形を定規とコンパスで作図することを求める。円の半径を $1$(面積 $\pi$)とすると、求める正方形は辺の長さ $s$ が $s^2=\pi$、すなわち $s=\sqrt{\pi}$ を満たす。

(角の三等分と立方体倍積を解決するのに使われた)ヴァンツェルの1837年の定理により、定規とコンパスで作図可能などんな実数も、$\mathbb{Q}$ 上の二次拡大の塔の頂上に位置し、特に代数的である——すなわち有理数係数を持つある非零多項式の根である。したがって円積問題が可能であるのは $\sqrt{\pi}$ が代数的である場合に限られる。代数的数の平方は代数的であり、その逆も成り立つので(代数的数 $\alpha$ は多項式 $P$ を満たし、$\alpha^2$ は $P$ から作られる関連する多項式を満たす)、$\sqrt{\pi}$ が代数的であることと $\pi$ が代数的であることは同値である。

こうして幾何学的な問いは、1つの特定の実数についての問いに完全に帰着する:$\pi$ は代数的なのか、それとも超越的(有理数係数のどんな多項式方程式も満たさない)なのか。フェルディナント・フォン・リンデマンは1882年にこれに答え、9年前シャルル・エルミートが $e$ を扱うのに用いた方法を拡張した。