解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

リンデマンの1882年の論文『$\pi$ の数について』は次を証明する:すべての非零代数的数 $\alpha$ に対して、値 $e^\alpha$ は超越数である。これはエルミートの1873年の結果($\alpha=1$ の場合、$e=e^1$ が超越数であるという結果)を、複素数を含む任意の代数的指数へと一般化するものである。

この証明はエルミートの補助積分の構成を適応させたものだが、エルミートが単一の整数 $\alpha=1$ を扱ったのに対し、リンデマンは $\alpha$ とそのすべての代数的共役($\alpha$ の最小多項式の他の根)を同時に扱わなければならない。最終的な評価に現れる対称関数の組み合わせが確実に有理数となるように、集合全体にわたって補助積分を掛け合わせるのである——これはかなり難しい帳簿管理の問題であり、リンデマンは基本対称多項式と、エルミートの議論と同じ両側評価(強制的に非零整数であることと、強制的にいくらでも小さいこと)を用いてこれを解決した。

この定理を(ステップ3で非零かつ代数的と仮定された)$\alpha=i\pi$ に適用すると、直ちに $e^{i\pi}$ は超越数でなければならないことになる。しかしステップ3では $e^{i\pi}=-1$、すなわち代数的数であることも示していた——直接の矛盾である。抜け出す唯一の道は、仮定が誤りだったということである:$\pi$ は代数的ではない、すなわち $\pi$ は超越数である(Lindemann 1882)。