解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

エルミートの1873年の論文『指数関数について』は $e$ が超越数であることを証明する:非零の整数 $a_0,\ldots,a_n$ で $a_0+a_1e+a_2e^2+\cdots+a_ne^n=0$ を満たすものは存在しない。この方法は(パラメータとして大きな素数 $p$ を用いて構成される)高次の補助多項式 $f(x)$ を構成し、$k=0,1,\ldots,n$ に対して量 $J_k=\int_0^k e^{k-x}f(x)\,dx$ を調べる。部分積分を繰り返すことで各 $J_k$ は $e^k$ と、$0$ および $k$ で評価された $f$ の導関数を含む和に変換される。

組み合わせ $a_0J_0+a_1J_1+\cdots+a_nJ_n$ は、構成上、仮定された $e$ の冪の間の関係が成り立つならば、選んだ大きな素数 $p$ で割り切れない非零の整数に等しいことが示せる(したがって確実に非零である)。しかし積分の別の評価により、同じ組み合わせの絶対値は $p\to\infty$ とともに $0$ に近づくことが示される。非零の整数がいくらでも小さい絶対値を持つことはあり得ないので、仮定された関係は存在し得ない:$e$ は超越数である。

この証明は、補助積分と整数対微小評価の矛盾という雛形を与え、フェルディナント・フォン・リンデマンは9年後、これを単に $e$ 自身だけでなく、任意の非零代数的数 $\alpha$ に対する $e^\alpha$ を扱うために適応させた。これが $\pi$ に必要な鍵となる拡張である。