解法: リンデマンによる $\pi$ の超越性の証明が円積問題を解決する(1882年)

よくある質問

フェルディナント・フォン・リンデマンは主にこの1つの結果で知られているのですか?

数学の世界では概ねそうである—— $\pi$ の超越性が彼を有名にした。彼はケーニヒスベルク、後にはミュンヘンの教授でもあり、ダーフィト・ヒルベルトの博士論文を指導した。ヒルベルトはのちにリンデマン自身の証明を簡略化し、20世紀の数学を形作った23の問題からなる影響力のあるリストを提示することになる。

出典

Ferdinand von Lindemann, 1882

Über die Zahl π

ステップ 6/6: 遺産:最後の古典的問題が解決し、証明はより簡潔になる

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

リンデマンの1882年のオリジナルの証明は複雑で、プロの数学者にとってさえ追いかけるのが難しかった。その後の10年間で、カール・ヴァイアシュトラス(1885年)、そしてダーフィト・ヒルベルト、アドルフ・フルヴィッツ、パウル・ゴルダンが独立に(1893年)、同じ結論へのより短く簡潔な道を見つけた——今日の講義で教えられる整理された版は、リンデマンのオリジナルの議論ではなく、彼らの単純化に由来する。

円積問題が1882年に決着したことで、古代の3大『不可能』作図問題——角の三等分、立方体倍積、円積問題——すべてがついに不可能であると証明され、専門家とアマチュアの数学者たちが二千年以上にわたって取り組んできた問いに決着がついた。

\text{Hermite (1873)} \to \text{Lindemann (1882)} \to \text{Weierstrass, Hilbert, Hurwitz, Gordan (1885--1893)}

詳しい解説

リンデマンの1882年の議論は、正しくはあったが、広く難解であると見なされていた。その10年以内にカール・ヴァイアシュトラス(1885年)がより整理された扱いを与え、ヴァイアシュトラスの版はさらに、ダーフィト・ヒルベルト、アドルフ・フルヴィッツ、パウル・ゴルダンによって1893年に独立にさらに簡潔化された。より体系的な対称関数の処理を用いてである。現代の教科書のほとんどにおけるこの定理の説明(ここでのステップ2〜4で要約された版を含む)の基礎となっているのは、リンデマンの1882年のオリジナルの論文ではなく、この簡略化されたヒルベルト=フルヴィッツ=ゴルダンの議論の系譜である。

この結果はまた、純粋数学の外にある二千年来の未解決問題に対して異例なほど直接的な影響を与えた:1882年までに、角の三等分と立方体倍積に対するヴァンツェルの1837年の不可能性の証明と、リンデマンの超越性の証明が合わさって、古代の古典的な定規とコンパスの3大問題すべてが不可能であると厳密に決着したことを意味した——円積問題が最も難しかったのは、他の2つに十分だった代数的な体の次数の議論ではなく、本当に新しい道具(超越数論)を必要としたからである。

リンデマンの超越性の方法はまた、持続的な研究の方向性も開いた:それは1900年、ヒルベルトの第7問題( $2^{\sqrt2}$ のような数は超越数か?)によって拡張され、最終的に1934年にゲルフォントとシュナイダーによって解決された。これは、1873年にエルミートが最初に用いた補助関数の技法の射程が、元々の円積問題をはるかに超えて続いていることを示している。