解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

ワーリングの問題は、彼の1770年の著作『Meditationes Algebraicae』で提起されたもので、次を問う:各整数 $k\ge2$ に対して、すべての正の整数が高々 $g(k)$ 個の非負の $k$ 乗数の和として表せるような有限の $g(k)$ が存在するか?ラグランジュの四平方定理(1770年)は $k=2$ を $g(2)=4$ で解決する;ワーリングの言及はこのパターンを立方数($g(3)=9$、推測として)と四乗数($g(4)=19$、推測として)へと、証明なしに「以下同様」と拡張する。

ヒルベルト以前の進展は断片的であった:$k$ の特殊な値($k=10$ まで)は19世紀の様々な数学者によって場当たり的な恒等式を用いて扱われ、ジョゼフ・リウヴィルは1859年、ラグランジュの四平方定理を二重に用いて $g(4)\le53$ を示した(彼の恒等式 $6(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2)^2=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^4+\sum_{i<j}(x_i-x_j)^4$ 自体が、ヒルベルトが後に利用する一般的なパターンの小さな一例である)。任意の $k$ に対する一般的な議論は存在しなかった。

ヒルベルトの1909年の論文(『Beweis für die Darstellbarkeit der ganzen Zahlen durch eine feste Anzahl $n$-ter Potenzen』、Mathematische Annalen)は、ついにすべての $k$ に対して $g(k)<\infty$ を証明した——ヒルベルト・ワーリングの定理である。残りのステップは彼の戦略を要約する:単一の代数的恒等式、それが高次元球面上の平均化に由来すること、そしてそれがどのように完全な存在証明へと発展するかを、Nathanson の『Additive Number Theory: The Classical Bases』(Springer GTM 164、第3章)および Ellison の1971年の概説におけるこの恒等式の提示に沿って述べる。