解法: ワーリングの問題に対するヒルベルトの存在証明(1909年)

Hardy と Littlewood の円周法(1920年)は、Hardy と Ramanujan の1918年の分割関数に関する研究に基づき、$a_i\ge0$ を用いて $N=a_1^k+\cdots+a_s^k$ と書く方法の個数 $r_s(N)$ を、母関数 $F(z)=\sum_{a\ge0}z^{a^k}$($|z|<1$)を通じて研究する:コーシーの積分公式は、単位円板内のある円周にわたって $r_s(N)=\frac{1}{2\pi i}\oint F(z)^sz^{-N-1}\,dz$ を与える。円周を、小さな $q$ を持つ有理数 $p/q$ 付近の「主要弧」(被積分関数が大きく、明示的な「特異級数」$\mathfrak{S}(N)$ でよく近似される)と「副次弧」(打ち消し合いにより寄与が小さくなる)に分割することで、Hardy と Littlewood は、$k$ に対して十分大きな $s$ について $r_s(N)\sim C\,\mathfrak{S}(N)N^{s/k-1}$ であることを示し、特に、明示的な $s_0(k)$ に対して $s\ge s_0(k)$ であればすべての大きな $N$ について $r_s(N)>0$ であることを示した。

これにより、必ずしも最適ではないものの、$g(k)$ に対する明示的な上界と、$G(k)\le g(k)$(有限個の小さな例外を除き、すべての十分大きな $N$ に必要な $k$ 乗数の個数)に対する上界も得られる——これはヒルベルトの方法(数値を一切生み出さなかった)に対するすでに定性的な改良である。その後の精密化(1930年代の I.M. Vinogradov の平均値法、2010年代からの Trevor Wooley の効率的合同法および decoupling 法)はこれらの上界を劇的に精密化し、Wooley は $G(k)\le k(\log k+O(\log\log k))$ を証明した。これは大きな $k$ に対して真の値に近い。

$g(k)$ 自身については、J.A. Euler(レオンハルト・オイラーの息子)によって予想された公式 $g(k)=2^k+\lfloor(3/2)^k\rfloor-2$ が、非常に大きな計算検証済みの範囲まですべての $k$ について成り立つことが今日知られており、十分大きなすべての $k$ に対しては無条件に証明されている($3/2$ が有理数によってどれだけよく近似できるかに関する K. Mahler の判定条件と、残りの有限範囲に対する明示的な計算とを組み合わせることによる)——したがって、ワーリングの1770年の元の問いは、今日では本質的に完全に解決されており、1909年のヒルベルトの純粋に定性的な出発点とは大きくかけ離れたものとなっている。