ざっくり言うと
誰かが「この世のすべての素数を漏れなく書き出した完全な一覧表を紙に書いた」と主張したとしよう。その主張が誤りであることを示すには、一度に無限個の素数を見つける必要はない。その紙を受け取り、そこに載っていない素数をたった一つでも確実に作り出す手順を示せば十分である。
詳しい解説
任意の有限個の素数のリストを とおく。現代の解説では、これは通常、背理法として定式化される。すなわち、矛盾を導くために素数は全部で有限個しか存在せず、 が存在するすべての素数を並べた完全な一覧であると仮定するのである。
ユークリッドの『原論』第9巻命題20の原文（「A, B, C を与えられた素数とせよ。A, B, C よりも多くの素数があることを言う」）では、議論は任意の有限リスト に対する構成的な形で述べられており、後の補助的な段階で小さな背理法を使うだけである。どちらの表現をとるにせよ計画は同じであり、有限リスト から出発して新しい数 を作り、それを使って となる素数を見つけ出す。
- 背理法
- ある命題が真であることを示すために、一時的にその反対が成り立つと仮定し、その仮定から論理的な矛盾（不合理）が導かれることを示す証明方法。