リスト $L = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ から任意の素数 $p_i$ を一つ選ぶ。積 $P = p_1 p_2 \cdots p_n$ において $p_i$ をくくり出すと、$P = p_i \cdot K$ と書ける。ここで $K = \prod_{j \neq i} p_j$ はリストの残りの素数の積である（$n = 1$ のときは $K = 1$）。これを $N$ の定義に代入すると、$N = p_i \cdot K + 1$ となる。

この等式は、$N$ を $p_i$ で割ったときの商が整数 $K$ で余りが $1$ であることを表している。もし $p_i$ が $N$ を割り切る（$p_i \mid N$）ならば、$p_i$ は $p_i \cdot K$ も割り切るので、それらの差である $N - p_i \cdot K = 1$ も割り切らなければならない。ユークリッドの第9巻命題20の言葉を借りれば、その素数は「余りである単位 $DF$ を測ることになり、不合理である」。なぜならすべての素数は $p_i \ge 2$ であり、$\ge 2$ のいかなる整数も $1$ を割り切ることはできないからである。したがって、すべての $p_i \in L$ について $p_i \nmid N$ である。