ステップ4とステップ5を組み合わせる。ステップ5より $N$ を割り切る素数 $q$（$q \mid N$）が存在し、一方でステップ4よりリスト $L = \{p_1, p_2, \dots, p_n\}$ のどの素数 $p_i$ も $N$ を割り切らない（$p_i \nmid N$）。結果として、いかなる $i \in \{1, \dots, n\}$ に対しても $q$ は $p_i$ と等しくなり得ず、$q \notin L$ はリストに含まれない新しい素数であることがわかる。

もし最初に $L$ が存在するすべての素数の完全な一覧であると仮定していたなら、$q \notin L$ という素数の存在はその仮定と真っ向から矛盾する。$n$ は任意の有限な個数であったから、どのような有限のリストもすべての素数を含むことはできない。ユークリッドが第9巻命題20の最後で結論づけている通り、「したがって、素数はあらかじめ与えられたどのような個数の素数よりも多い」のである。