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ステップ 5/5: 輪を閉じる:数値検証が解析的閾値と出会う
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ざっくり言うと

ステップ2–4の解析的な議論は 102710^{27} 以上のすべての奇数 nn を解決する——これでも一つ一つ確認するにはまだ大きすぎるが、今や別種の計算の射程内にある:ある限界までのすべての偶数が二つの素数の和である(古典的なゴールドバッハ予想、ここで必要とされるよりもはるかに先まで確認されている)ことを検証すれば十分である。なぜなら n=2+(even)n=2+(\text{even})、あるいは短い追加の議論によって、小さな奇数の場合をそこに帰着できるからである。ヘルフゴットとデイヴィッド・プラットは、厳密でコンピュータ支援による検証を行い、8.875×10308.875\times10^{30} に到達した——これは 102710^{27} の閾値を十分に超えており、二つの範囲は余裕をもって重なり合う。

1027≤n≤8.875×1030: verified by computer (Helfgott–Platt, 2013)⟹∀ n>5 odd:n=p1+p2+p310^{27} \le n \le 8.875\times 10^{30} : \text{ verified by computer (Helfgott–Platt, 2013)} \quad \Longrightarrow \quad \forall\, n>5 \text{ odd}: n=p_1+p_2+p_3
詳しい解説

具体的には、8,875,694,145,621,773,516,800,000,000,0008{,}875{,}694{,}145{,}621{,}773{,}516{,}800{,}000{,}000{,}000 がヘルフゴットとプラット(2013年)が到達した正確な数値限界であり、102710^{27} を余裕をもって上回る。102710^{27} 以上のすべての奇数 nn が解析的に(ステップ2–4)カバーされ、5<n≤8.875×10305<n\le 8.875\times10^{30} を満たすすべての奇数が計算によってカバーされ、かつ 8.875×1030>10278.875\times10^{30}>10^{27} であることから、二つの範囲は重なり合い、5より大きいすべての奇数 nn を隙間なく共同でカバーする——こうして三項ゴールドバッハ予想が無条件な定理として確立される。2012–2013年にわたる複数の長い論文からなる完全な議論は、異例に長期化した複数回の査読過程を要し、後に Annals of Mathematics Studies シリーズの研究モノグラフとしてまとめられた。