Trị riêng và chéo hóa

Mỗi vectơ riêng đánh dấu một hướng bất biến riêng với một hệ số co giãn riêng; nếu một hướng như vậy có thể dựng từ các hướng khác, việc áp dụng $A$ sẽ phải co giãn nó theo tất cả các hệ số khác nhau đó cùng lúc, điều không thể xảy ra trừ khi vectơ bằng không.

Ta chứng minh bằng quy nạp theo $k$. Với $k = 1$, khẳng định hiển nhiên đúng: một vectơ khác không luôn độc lập tuyến tính.

Giả sử kết quả đúng với $k - 1$ trị riêng phân biệt, và giả sử phản chứng rằng $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_k$ phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại hệ thức $c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$ với không phải mọi $c_i$ đều bằng không.

Áp dụng $A$ vào hai vế: vì $A\mathbf{v}_i = \lambda_i \mathbf{v}_i$, ta được $c_1 \lambda_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_k \lambda_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$. Nhân hệ thức ban đầu với $\lambda_k$ rồi trừ đi phương trình mới này; các số hạng chứa $\mathbf{v}_k$ triệt tiêu chính xác, còn lại $c_1(\lambda_1 - \lambda_k)\mathbf{v}_1 + \cdots + c_{k-1}(\lambda_{k-1} - \lambda_k)\mathbf{v}_{k-1} = \mathbf{0}$.

Theo giả thiết quy nạp, $\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{v}_{k-1}$ độc lập tuyến tính, nên mọi hệ số trong hệ thức cuối phải triệt tiêu: $c_i(\lambda_i - \lambda_k) = 0$ với mọi $i < k$. Vì các trị riêng phân biệt từng đôi, $\lambda_i - \lambda_k \neq 0$, buộc $c_i = 0$ với mọi $i < k$.

Thay ngược lại hệ thức ban đầu chỉ còn $c_k \mathbf{v}_k = \mathbf{0}$; vì $\mathbf{v}_k \neq \mathbf{0}$ theo định nghĩa vectơ riêng, nên $c_k = 0$. Mọi hệ số đều bằng không, mâu thuẫn với giả thiết không phải mọi $c_i$ triệt tiêu. Vậy không tồn tại hệ thức phụ thuộc như vậy, và các vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Ma trận đối xứng xuất hiện khắp nơi — ma trận hiệp phương sai, mô-men quán tính, ma trận Hesse của hàm trơn — và định lý này đảm bảo ta luôn có thể xoay sang một hệ tọa độ mà ma trận chỉ co giãn độc lập dọc theo các trục vuông góc, không hề trượt và không có hành vi phức tạp nào.

Trước hết ta ghi nhận một bổ đề: mọi trị riêng của ma trận đối xứng thực đều là số thực. Nếu $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$ với $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ có thể phức, xét $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v}$ với $\mathbf{v}^{*}$ là chuyển vị liên hợp. Vì $A$ thực và đối xứng, $\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v} = (\mathbf{v}^{*}A\mathbf{v})^{*}$, nên đại lượng này là số thực; nhưng nó cũng bằng $\lambda \, \mathbf{v}^{*}\mathbf{v}$, và $\mathbf{v}^{*}\mathbf{v} > 0$ là số thực dương, buộc $\lambda$ phải là số thực.

Ta chứng minh định lý bằng quy nạp theo $n$. Trường hợp $n = 1$ hiển nhiên: mọi ma trận $1 \times 1$ đã là ma trận đường chéo, với $Q = (1)$.

Ở bước quy nạp, giả sử định lý đúng với mọi ma trận đối xứng thực cỡ $n - 1$. Vì $A$ là ma trận đối xứng thực $n \times n$, theo bổ đề đa thức đặc trưng của nó có nghiệm thực $\lambda_1$; chọn một vectơ riêng tương ứng và chuẩn hóa thành vectơ đơn vị $\mathbf{v}_1$.

Gọi $W$ là phần bù trực giao của đường thẳng sinh bởi $\mathbf{v}_1$, một không gian con $(n-1)$ chiều. Ta khẳng định $W$ bất biến dưới $A$: với mọi $\mathbf{w} \in W$ (tức $\mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$), ta tính $(A\mathbf{w})^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A^\top \mathbf{v}_1 = \mathbf{w}^\top A \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{w}^\top \mathbf{v}_1 = 0$, dùng tính đối xứng của $A$ ở bước giữa. Vậy $A\mathbf{w}$ lại vuông góc với $\mathbf{v}_1$, tức $A\mathbf{w} \in W$.

Chọn một cơ sở trực chuẩn của $W$; trong cơ sở này, hạn chế của $A$ lên $W$ được biểu diễn bởi ma trận $(n-1) \times (n-1)$ ký hiệu $A'$, và $A'$ đối xứng vì $A$ đối xứng (hạn chế một dạng song tuyến tính đối xứng lên không gian con, trong cơ sở trực chuẩn, vẫn giữ tính đối xứng). Theo giả thiết quy nạp, $A'$ có cơ sở trực chuẩn gồm các vectơ riêng $\mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ nằm trong $W$, với các trị riêng thực $\lambda_2, \dots, \lambda_n$; vì $W$ bất biến dưới $A$, đây cũng chính là các vectơ riêng thực sự của $A$.

Gộp $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n$ lại cho một cơ sở trực chuẩn của $\mathbb{R}^n$ gồm toàn vectơ riêng của $A$. Xếp chúng làm các cột của ma trận $Q$ khiến $Q$ trực giao, và $AQ = Q\Lambda$ với $\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$; vì $Q^{-1} = Q^\top$ đối với ma trận trực giao, điều này sắp xếp lại đúng thành $A = Q \Lambda Q^\top$, hoàn tất phép quy nạp.