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最优传输 寻找将一种质量分布重塑为另一种分布的最低成本方式——从搬运沙堆到比较图像、概率分布与细胞群体。
直观 以最小代价将一堆沙子搬入一个坑 设想一堆某种形状的沙子，以及地面上一个总体积完全相同但形状不同的坑。你想把每一粒沙子都搬进坑里，且总花费尽量小，其中把一粒沙搬动距离 d d d d d d 最优传输问题 ：给定总质量相同的一个源分布和一个目标分布，求把前者重新排布成后者的最便宜方式。
这听起来像一道纯粹关于沙子的物理趣题，但同样的问题——以最小代价把一种物质的分布匹配到另一种分布——只要比较两个概率分布、两幅图像、两条经济供需曲线，或两个形状，就会出现。最优传输精确度量两个分布究竟有多不同，并给出把一个变形为另一个的确切方法。
例题: 一个最简例子：两堆沙子，两个坑
设在位置 x = 0 x=0 x = 0 x = 10 x=10 x = 10 y = 1 y=1 y = 1 y = 9 y=9 y = 9 d d d d d d 0 → 1 0\to1 0 → 1 10 → 9 10\to9 10 → 9 0 → 9 0\to9 0 → 9 10 → 1 10\to1 10 → 1
解答 直接（不交叉）匹配花费 ∣ 0 − 1 ∣ + ∣ 10 − 9 ∣ = 1 + 1 = 2 |0-1|+|10-9|=1+1=2 ∣0 − 1∣ + ∣10 − 9∣ = 1 + 1 = 2 ∣ 0 − 9 ∣ + ∣ 10 − 1 ∣ = 9 + 9 = 18 |0-9|+|10-1|=9+9=18 ∣0 − 9∣ + ∣10 − 1∣ = 9 + 9 = 18 2 2 2 ∣ x − y ∣ |x-y| ∣ x − y ∣
这条钟形的标准正态曲线 N ( 0 , 1 ) \mathcal N(0,1) N ( 0 , 1 ) 大学 蒙日的映射与坎托罗维奇的松弛 1781年，法国数学家兼军事工程师加斯帕尔·蒙日精确提出了这一问题：给定空间 X X X μ \mu μ Y Y Y ν \nu ν x x x y y y c ( x , y ) c(x,y) c ( x , y ) μ \mu μ 前推为 ν \nu ν T : X → Y T:X\to Y T : X → Y T # μ = ν T_{\#}\mu=\nu T # μ = ν A A A T # μ ( A ) = μ ( T − 1 ( A ) ) T_{\#}\mu(A) = \mu(T^{-1}(A)) T # μ ( A ) = μ ( T − 1 ( A ))
inf T : T # μ = ν ∫ X c ( x , T ( x ) ) d μ ( x ) \inf_{T:\ T_{\#}\mu = \nu} \int_X c(x, T(x))\, d\mu(x) T : T # μ = ν inf ∫ X c ( x , T ( x )) d μ ( x ) 蒙日最初的表述往往根本无解 。最鲜明的例子：设 μ = δ 0 \mu=\delta_0 μ = δ 0 ν = 1 2 δ − 1 + 1 2 δ 1 \nu=\frac12\delta_{-1}+\frac12\delta_{1} ν = 2 1 δ − 1 + 2 1 δ 1 T T T 0 0 0 单一 一点 T ( 0 ) T(0) T ( 0 ) T # μ T_{\#}\mu T # μ T T T ν \nu ν
定义: 传输方案与耦合
给定 μ ∈ P ( X ) \mu\in\mathcal P(X) μ ∈ P ( X ) ν ∈ P ( Y ) \nu\in\mathcal P(Y) ν ∈ P ( Y ) 传输方案 （或耦合 ）是 X × Y X\times Y X × Y γ \gamma γ μ \mu μ ν \nu ν Π ( μ , ν ) = { γ ∈ P ( X × Y ) : ( π X ) # γ = μ , ( π Y ) # γ = ν } . \Pi(\mu,\nu) = \{\gamma \in \mathcal{P}(X\times Y) : (\pi_X)_{\#}\gamma = \mu,\ (\pi_Y)_{\#}\gamma = \nu\}. Π ( μ , ν ) = { γ ∈ P ( X × Y ) : ( π X ) # γ = μ , ( π Y ) # γ = ν } . γ \gamma γ x x x y y y T T T γ = ( i d , T ) # μ \gamma=(\mathrm{id},T)_{\#}\mu γ = ( id , T ) # μ γ \gamma γ μ ⊗ ν \mu\otimes\nu μ ⊗ ν Π ( μ , ν ) \Pi(\mu,\nu) Π ( μ , ν ) 永不为空 。
inf γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ X × Y c ( x , y ) d γ ( x , y ) \inf_{\gamma \in \Pi(\mu,\nu)} \int_{X \times Y} c(x,y)\, d\gamma(x,y) γ ∈ Π ( μ , ν ) inf ∫ X × Y c ( x , y ) d γ ( x , y ) 对于 X X X μ \mu μ Y Y Y ν \nu ν c c c φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) \varphi(x) + \psi(y) \le c(x,y) φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) 坎托罗维奇势 对 φ : X → R \varphi:X\to\mathbb R φ : X → R ψ : Y → R \psi:Y\to\mathbb R ψ : Y → R min γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ X × Y c d γ = sup φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) ( ∫ X φ d μ + ∫ Y ψ d ν ) , \min_{\gamma\in\Pi(\mu,\nu)}\int_{X\times Y} c\,d\gamma \;=\; \sup_{\varphi(x)+\psi(y)\le c(x,y)}\left(\int_X\varphi\,d\mu+\int_Y\psi\,d\nu\right), min γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ X × Y c d γ = sup φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) ( ∫ X φ d μ + ∫ Y ψ d ν ) ,
为什么成立? 可以把 φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) x x x ψ ( y ) \psi(y) ψ ( y ) y y y φ ( x ) \varphi(x) φ ( x ) ψ ( y ) \psi(y) ψ ( y ) c ( x , y ) c(x,y) c ( x , y ) φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) \varphi(x)+\psi(y)\le c(x,y) φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) φ ( x ) + ψ ( y ) = c ( x , y ) \varphi(x)+\psi(y)=c(x,y) φ ( x ) + ψ ( y ) = c ( x , y )
证明 对于有限离散测度 μ = ∑ i p i δ x i \mu=\sum_i p_i\delta_{x_i} μ = ∑ i p i δ x i ν = ∑ j q j δ y j \nu=\sum_j q_j\delta_{y_j} ν = ∑ j q j δ y j min ∑ i , j c i j γ i j \min \sum_{i,j} c_{ij}\gamma_{ij} min ∑ i , j c ij γ ij γ i j ≥ 0 \gamma_{ij}\ge0 γ ij ≥ 0 ∑ j γ i j = p i \sum_j\gamma_{ij}=p_i ∑ j γ ij = p i ∑ i γ i j = q j \sum_i\gamma_{ij}=q_j ∑ i γ ij = q j φ i + ψ j ≤ c i j \varphi_i+\psi_j\le c_{ij} φ i + ψ j ≤ c ij i , j i,j i , j max ∑ i p i φ i + ∑ j q j ψ j \max \sum_i p_i\varphi_i+\sum_j q_j\psi_j max ∑ i p i φ i + ∑ j q j ψ j p i q j p_iq_j p i q j 0 0 0 { γ i j ≥ 0 } ∩ Π ( μ , ν ) \{\gamma_{ij}\ge0\}\cap\Pi(\mu,\nu) { γ ij ≥ 0 } ∩ Π ( μ , ν ) C b ( X × Y ) C_b(X\times Y) C b ( X × Y )
上面针对有限测度的证明是线性规划对偶性 的直接应用——正是凸优化中的原始-对偶机制：传输方案 γ \gamma γ φ , ψ \varphi,\psi φ , ψ Π ( μ , ν ) \Pi(\mu,\nu) Π ( μ , ν ) μ , ν , γ \mu,\nu,\gamma μ , ν , γ
进阶 布雷尼耶定理与瓦瑟斯坦空间的几何 设 μ , ν \mu,\nu μ , ν R n \mathbb R^n R n μ \mu μ c ( x , y ) = ∣ x − y ∣ 2 c(x,y) = |x-y|^2 c ( x , y ) = ∣ x − y ∣ 2 φ : R n → R \varphi:\mathbb R^n\to\mathbb R φ : R n → R T = ∇ φ T = \nabla \varphi T = ∇ φ μ \mu μ T # μ = ν T_{\#}\mu=\nu T # μ = ν
为什么成立? 对于像 ∣ x − y ∣ 2 |x-y|^2 ∣ x − y ∣ 2 c c c ( x i , y i ) (x_i,y_i) ( x i , y i ) 等价于 存在某个凸函数 φ \varphi φ i i i y i y_i y i x i x_i x i μ \mu μ μ \mu μ T = ∇ φ T=\nabla\varphi T = ∇ φ
证明 （概要，遵循 Brenier 1991。）第一步：对 c = ∣ x − y ∣ 2 c=|x-y|^2 c = ∣ x − y ∣ 2 φ ( x ) = 1 2 ∣ x ∣ 2 − φ ~ ( x ) \varphi(x)=\tfrac12|x|^2-\tilde\varphi(x) φ ( x ) = 2 1 ∣ x ∣ 2 − φ ~ ( x ) φ \varphi φ φ ∗ ( y ) = sup x ( x ⋅ y − φ ( x ) ) \varphi^*(y)=\sup_x(x\cdot y-\varphi(x)) φ ∗ ( y ) = sup x ( x ⋅ y − φ ( x )) γ \gamma γ y ∈ ∂ φ ( x ) y\in\partial\varphi(x) y ∈ ∂ φ ( x ) R n × R n \mathbb R^n\times\mathbb R^n R n × R n φ \varphi φ ∂ φ \partial\varphi ∂ φ γ \gamma γ ∫ ∣ x − y ∣ 2 d γ \int|x-y|^2\,d\gamma ∫ ∣ x − y ∣ 2 d γ ∑ i ∣ x i − y i ∣ 2 \sum_i|x_i-y_i|^2 ∑ i ∣ x i − y i ∣ 2 μ ≪ \mu\ll μ ≪ φ \varphi φ μ \mu μ γ \gamma γ { ( x , ∇ φ ( x ) ) } \{(x,\nabla\varphi(x))\} {( x , ∇ φ ( x ))} γ = ( i d , ∇ φ ) # μ \gamma=(\mathrm{id},\nabla\varphi)_{\#}\mu γ = ( id , ∇ φ ) # μ T = ∇ φ T=\nabla\varphi T = ∇ φ μ \mu μ
一旦代价固定为 ∣ x − y ∣ 2 |x-y|^2 ∣ x − y ∣ 2 距离 ——二阶瓦瑟斯坦距离 W 2 W_2 W 2 P 2 ( R n ) \mathcal P_2(\mathbb R^n) P 2 ( R n ) W 2 W_2 W 2 无穷维黎曼流形 ：费利克斯·奥托（Felix Otto）的启发式方法——现称奥托微积分（Otto calculus） ——把 μ \mu μ ∂ t μ + ∇ ⋅ ( μ v ) = 0 \partial_t\mu+\nabla\!\cdot(\mu v)=0 ∂ t μ + ∇ ⋅ ( μv ) = 0 v v v ⟨ v , w ⟩ μ = ∫ v ⋅ w d μ \langle v,w\rangle_\mu=\int v\cdot w\,d\mu ⟨ v , w ⟩ μ = ∫ v ⋅ w d μ T = ∇ φ T=\nabla\varphi T = ∇ φ μ t = ( ( 1 − t ) i d + t T ) # μ \mu_t=((1-t)\,\mathrm{id}+t\,T)_{\#}\mu μ t = (( 1 − t ) id + t T ) # μ
W 2 ( μ , ν ) 2 = min γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ ∣ x − y ∣ 2 d γ ( x , y ) W_2(\mu,\nu)^2 = \min_{\gamma \in \Pi(\mu,\nu)} \int |x-y|^2\, d\gamma(x,y) W 2 ( μ , ν ) 2 = γ ∈ Π ( μ , ν ) min ∫ ∣ x − y ∣ 2 d γ ( x , y ) 例题: 两个中心化高斯分布之间的显式最优传输
设 μ = N ( 0 , 1 ) \mu=\mathcal N(0,1) μ = N ( 0 , 1 ) ν = N ( 0 , 2.25 ) \nu=\mathcal N(0,2.25) ν = N ( 0 , 2.25 ) σ 1 = 1 \sigma_1=1 σ 1 = 1 σ 2 = 1.5 \sigma_2=1.5 σ 2 = 1.5 μ \mu μ ν \nu ν T T T W 2 ( μ , ν ) W_2(\mu,\nu) W 2 ( μ , ν )
解答 两个测度都是中心化的，因此一般的一维高斯最优传输映射 T ( x ) = m 2 + σ 2 σ 1 ( x − m 1 ) T(x) = m_2 + \frac{\sigma_2}{\sigma_1}(x - m_1) T ( x ) = m 2 + σ 1 σ 2 ( x − m 1 ) T ( x ) = σ 2 σ 1 x = 1.5 x T(x)=\frac{\sigma_2}{\sigma_1}x=1.5x T ( x ) = σ 1 σ 2 x = 1.5 x φ ( x ) = 0.75 x 2 \varphi(x)=0.75x^2 φ ( x ) = 0.75 x 2 φ ′ ( x ) = 1.5 x = T ( x ) \varphi'(x)=1.5x=T(x) φ ′ ( x ) = 1.5 x = T ( x ) T T T μ \mu μ ν \nu ν X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim\mathcal N(0,1) X ∼ N ( 0 , 1 ) 1.5 X ∼ N ( 0 , 1.5 2 ) = N ( 0 , 2.25 ) = ν 1.5X\sim\mathcal N(0,1.5^2)=\mathcal N(0,2.25)=\nu 1.5 X ∼ N ( 0 , 1. 5 2 ) = N ( 0 , 2.25 ) = ν ∫ ( T ( x ) − x ) 2 d μ ( x ) = ∫ ( 0.5 x ) 2 d μ ( x ) = 0.25 ⋅ V a r ( X ) = 0.25 \int(T(x)-x)^2\,d\mu(x)=\int(0.5x)^2\,d\mu(x)=0.25\cdot\mathrm{Var}(X)=0.25 ∫ ( T ( x ) − x ) 2 d μ ( x ) = ∫ ( 0.5 x ) 2 d μ ( x ) = 0.25 ⋅ Var ( X ) = 0.25 W 2 ( μ , ν ) = 0.25 = 0.5 = σ 2 − σ 1 W_2(\mu,\nu)=\sqrt{0.25}=0.5=\sigma_2-\sigma_1 W 2 ( μ , ν ) = 0.25 = 0.5 = σ 2 − σ 1
该组件本身绘制的是一般的二维线性映射 ( x , y ) ↦ ( a x + b y , c x + d y ) (x,y)\mapsto(ax+by,cx+dy) ( x , y ) ↦ ( a x + b y , c x + d y ) a = d = 1.5 a=d=1.5 a = d = 1.5 b = c = 0 b=c=0 b = c = 0 T ( x ) = 1.5 x T(x)=1.5x T ( x ) = 1.5 x N ( 0 , 1 ) \mathcal N(0,1) N ( 0 , 1 ) N ( 0 , 2.25 ) \mathcal N(0,2.25) N ( 0 , 2.25 ) T ( x ) = 1.5 x T(x)=1.5x T ( x ) = 1.5 x φ ( x ) = 0.75 x 2 \varphi(x)=0.75x^2 φ ( x ) = 0.75 x 2 a ≠ d a\ne d a = d b , c ≠ 0 b,c\ne0 b , c = 0 历史注记
加斯帕尔·蒙日 （1746–1818）是拿破仑麾下的法国数学家兼军事工程师（也是巴黎综合理工学院的创立者之一），在其1781年的回忆录《Mémoire sur la théorie des déblais et des remblais 》（《论挖填理论》）中首次提出了这一运输问题——字面意思就是以最低成本把挖出的土方运到工地。此后这个问题沉寂了一个多世纪。苏联数学家列昂尼德·坎托罗维奇 （1912–1986）在为苏联经济计划发展线性规划的过程中，于1942年重新发现并彻底推广了这个问题；他把问题松弛为传输方案，使其变为凸问题从而可解，他也因此与他人（Tjalling Koopmans）分享了1975年诺贝尔经济学奖，以表彰这项工作及相关的资源最优配置研究。扬·布雷尼耶 于1991年证明了他的梯度/极分解定理，揭示了最优传输、凸分析与蒙日-安培方程之间的深刻联系。塞德里克·维拉尼 荣获2010年菲尔兹奖，官方颁奖词强调的是他对玻尔兹曼方程非线性朗道阻尼与趋于平衡的收敛性所给出的证明——这些成果建立在维拉尼本人发展并在两部有影响力的教材中系统化的最优传输理论技术之上，使该学科成为现代分析与几何中的核心工具。
研究 位移凸性、曲率与大规模传输 瓦瑟斯坦空间 ( P 2 ( R n ) , W 2 ) (\mathcal P_2(\mathbb R^n),W_2) ( P 2 ( R n ) , W 2 ) μ t \mu_t μ t 位移插值 ；测度上的泛函 F F F μ = ρ d x \mu=\rho\,dx μ = ρ d x ∫ ρ log ρ \int\rho\log\rho ∫ ρ log ρ t ↦ F ( μ t ) t\mapsto F(\mu_t) t ↦ F ( μ t ) 位移凸 的。大约在2006–2009年间，约翰·洛特（John Lott）与塞德里克·维拉尼 ，以及独立地由卡尔-西奥多·斯图姆（Karl-Theodor Sturm） ，利用熵沿 W 2 W_2 W 2 定义 一种综合的（曲率-维数）里奇曲率下界——即 C D ( K , N ) \mathrm{CD}(K,N) CD ( K , N )
一个截然不同、彻头彻尾当代的应用：2017年，Martin Arjovsky、Soumith Chintala 与 Léon Bottou 提出了Wasserstein GAN ，用真实数据分布与生成数据分布之间的一阶瓦瑟斯坦距离（坎托罗维奇–鲁宾斯坦对偶形式）取代了用于训练经典生成对抗网络的Jensen–Shannon散度。由于 W 1 W_1 W 1
研究前沿 截至 2026 年
研究现状（截至2026年）。
1. 熵正则化与Sinkhorn算法。 精确求解坎托罗维奇线性规划并不具备可扩展性：每侧 n n n O ( n 3 log n ) O(n^3\log n) O ( n 3 log n ) min γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ c d γ − ε H ( γ ) \min_{\gamma\in\Pi(\mu,\nu)}\int c\,d\gamma-\varepsilon H(\gamma) min γ ∈ Π ( μ , ν ) ∫ c d γ − ε H ( γ ) γ = d i a g ( u ) K d i a g ( v ) \gamma=\mathrm{diag}(u)K\mathrm{diag}(v) γ = diag ( u ) K diag ( v ) K = e − c / ε K=e^{-c/\varepsilon} K = e − c / ε Sinkhorn–Knopp 矩阵缩放算法计算，每次迭代耗时 O ( n 2 ) O(n^2) O ( n 2 ) 非平衡最优传输。 真实数据两侧的总质量很少恰好相等（例如正在增殖或死亡的细胞群体）。非平衡最优传输 把硬性的边缘约束 γ ∈ Π ( μ , ν ) \gamma\in\Pi(\mu,\nu) γ ∈ Π ( μ , ν ) 单细胞生物学与生成式AI。 这套非平衡、熵正则化的机制如今是计算生物学的核心：诸如2025年发表于《Nature 》的Moscot 等框架，利用非平衡、熵正则化的最优传输，在正确考虑细胞生死的同时，匹配跨越多个时间点、空间位置与分子模态的数百万单细胞——重建出简单等质量匹配会出错的发育轨迹。在生成建模方面，2024–2026年的工作把非平衡传输与流匹配（flow matching）结合，训练针对复杂的、正在增长或萎缩的群体的免模拟神经模型，延续了2017年Wasserstein GAN开创的方向。
为什么蒙日最初的最优传输表述有时根本无解，而坎托罗维奇的松弛（在温和条件下）总有极小值点？
蒙日要求确定性映射 T T T T # μ = ν T_{\#}\mu=\nu T # μ = ν γ ∈ Π ( μ , ν ) \gamma\in\Pi(\mu,\nu) γ ∈ Π ( μ , ν ) Π ( μ , ν ) \Pi(\mu,\nu) Π ( μ , ν ) 蒙日的代价函数总是不连续的，而坎托罗维奇的代价函数总是连续的。 坎托罗维奇要求源测度与目标测度总质量相等，而蒙日没有此要求。 蒙日问题是极大化问题，而坎托罗维奇问题是极小化问题。 根据布雷尼耶定理，对于二次代价 c ( x , y ) = ∣ x − y ∣ 2 c(x,y)=|x-y|^2 c ( x , y ) = ∣ x − y ∣ 2 R n \mathbb R^n R n μ \mu μ T T T
对某个凸函数 φ \varphi φ T = ∇ φ T=\nabla\varphi T = ∇ φ T T T x x x 无论 μ \mu μ ν \nu ν T T T 对某个凹函数 ψ \psi ψ T = ψ T=\psi T = ψ 在坎托罗维奇对偶定理中，对偶问题中连接两个坎托罗维奇势 φ \varphi φ ψ \psi ψ
φ ( x ) − ψ ( y ) = c ( x , y ) \varphi(x)-\psi(y)=c(x,y) φ ( x ) − ψ ( y ) = c ( x , y ) φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) \varphi(x)+\psi(y)\le c(x,y) φ ( x ) + ψ ( y ) ≤ c ( x , y ) φ ( x ) ⋅ ψ ( y ) = c ( x , y ) \varphi(x)\cdot\psi(y)=c(x,y) φ ( x ) ⋅ ψ ( y ) = c ( x , y ) 对所有 x , y x,y x , y φ ( x ) = ψ ( y ) \varphi(x)=\psi(y) φ ( x ) = ψ ( y ) 为什么 Cuturi 在2013年提出的熵正则化（催生了Sinkhorn算法）改变了机器学习中的计算最优传输？
它用一个每次迭代耗时 O ( n 2 ) O(n^2) O ( n 2 ) 它证明了对任何代价函数，最优传输映射都总有闭式解。 它彻底消除了 Π ( μ , ν ) \Pi(\mu,\nu) Π ( μ , ν ) 它表明对离散测度而言，蒙日问题和坎托罗维奇问题总是重合的。