解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

由域扩张的塔定律,次数相乘:$[F_k:\mathbb{Q}] = \prod_{i=1}^{k} [F_i:F_{i-1}]$。由于第2步已表明每个因子都是 $1$ 或 $2$,该乘积对某个整数 $k\ge 0$ 等于 $2^k$——无论用了多少步作图,都是 $2$ 的幂。

现设实数 $\alpha$ 可作图,则对某个这样的塔有 $\alpha \in F_k$,从而 $\mathbb{Q}(\alpha)\subseteq F_k$。对 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\alpha)\subset F_k$ 再次应用塔定律得 $[F_k:\mathbb{Q}] = [F_k:\mathbb{Q}(\alpha)]\cdot[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$,故 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 整除 $2^k$。$2$ 的幂的因数只能是 $2$ 的幂,所以对某个整数 $m\ge 0$ 有 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 2^m$(Wantzel 1837, §I)。

这是旺泽尔给出的可作图性必要条件,它对充分性未作任何断言:例如伽罗瓦群为 $S_4$ 的不可约 $4$ 次多项式,其根的次数为 $4=2^2$,却仍然不可作图。这一条件真正给出的是一个锋利的障碍——如果一个方程在 $\mathbb{Q}$ 上的次数不是 $2$ 的幂,它的根就一定不可作图,而这正是接下来的步骤用于 $60^\circ$ 的工具。