解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

由有理根定理,整系数多项式的任何有理根 $p/q$(既约分数)必须使 $p$ 整除常数项,$q$ 整除首项系数。对 $P(x)=x^3-3x-1$ 而言,首项系数为 $1$,常数项为 $-1$,故 $q=\pm1$、$p\in\{1,-1\}$:唯一的候选值是 $x=1$ 与 $x=-1$。

逐一检验:$P(1)=1-3-1=-3\neq0$,$P(-1)=-1+3-1=1\neq0$。所以 $P$ 没有有理根。由于 $P$ 的次数为 $3$,若它在 $\mathbb{Q}$ 上能分解为非平凡因子,其中一个因子必为一次,而一次因子 $qx-p$ 必然要求 $p/q$ 是一个根——这刚刚已被排除。因此 $P$ 在 $\mathbb{Q}$ 上不可约。

某数 $\alpha$ 所满足的 $3$ 次不可约多项式(相差一个常数因子)就是 $\alpha$ 的极小多项式,故 $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}]$ 等于它的次数。这里 $\alpha = 2\cos 20^\circ$ 是 $P$ 的根,所以 $[\mathbb{Q}(2\cos 20^\circ):\mathbb{Q}] = 3$——这是最后一步所需的最后一块素材。