解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

旺泽尔的判据严格来说只涉及经典欧几里得意义下的尺规作图:一把无刻度的直尺只用来过两个已作出的点画直线,一副圆规只用来以一个已作出的点为圆心、过另一个已作出的点画圆。放宽任一工具都会改变答案。阿基米德(公元前3世纪)早已给出一种使用内插法(neusis)的三等分方法——将一把有刻度的直尺滑动,直到两段给定长度同时与两条给定曲线重合——这实际上直接求解了三次方程,从而彻底绕开了次数为 $2^m$ 的限制。

在同一篇1837年的论文中,旺泽尔用完全相同的策略(归结为三次方程,证明其不可约,指出 $3\neq2^m$)证明了倍立方——作出 $\sqrt[3]{2}$——同样不可能,他还补全了高斯关于哪些正多边形可作图的定理。夏尔·斯图姆(Charles Sturm)据说在此后不久就找到了改进的证明,但从未发表(Maths History,旺泽尔传记)。

从历史上看,这一1837年的结果是最早利用域扩张次数论证来证明几何不可能性的例子之一,它先于埃瓦里斯特·伽罗瓦几年前发展的思想,并很快结晶为伽罗瓦理论。它把古代三个最著名的未解决问题变成了确定无疑、已被证明的事实——尽管化圆为方仍需等到45年后即1882年林德曼发表的 $\pi$ 的超越性证明。