解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

角 $\theta$ 可作图,当且仅当长度 $\cos\theta$ 可作图,因为从单位圆上角为 $\theta$ 的点向 $x$ 轴作垂线即得线段 $\cos\theta$,反之由 $\cos\theta$ 作垂线也能还原出 $\theta$。取 $\theta = 20^\circ$,则三等分 $60^\circ$ 可行,当且仅当 $20^\circ$(等价地 $\cos 20^\circ$)可作图。

将三倍角公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ 用于 $\theta=20^\circ$,得 $4\cos^3(20^\circ) - 3\cos(20^\circ) = \cos(60^\circ) = \tfrac12$。两边乘以 $2$,并令 $x = 2\cos(20^\circ)$(于是 $\cos 20^\circ = x/2$),这变为 $8(x/2)^3 - 6(x/2) = 1$,即 $x^3 - 3x - 1 = 0$。由于乘以或除以非零有理数 $2$ 不改变可作图性,$\cos 20^\circ$ 可作图当且仅当 $x = 2\cos 20^\circ$ 可作图。

于是整个几何问题就被归结为关于整系数三次式 $P(x) = x^3 - 3x - 1$ 的一个纯代数问题:它的根 $x = 2\cos 20^\circ$ 是否可作图?下一步将通过计算 $P$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的次数来回答这个问题。