解法：旺泽尔利用域扩张给出的代数不可能性证明(1837年)

以给定的两个单位点固定坐标系,使 $F_0=\mathbb{Q}$。一个新的可作图点是两个对象的交点,每个对象都是直线或圆,其坐标都已属于当前域 $F_{i-1}$。求解该方程组会得到一个一次方程(两条直线)或一个系数在 $F_{i-1}$ 中的二次方程(直线与圆,或两圆方程相减消去 $x^2+y^2$ 项后归结为直线与圆的方程组)。因此每个新坐标要么本身就在 $F_{i-1}$ 中,要么在某个二次扩张 $F_i=F_{i-1}(\sqrt{d_i})$ 中(其中 $d_i\in F_{i-1}$),从而 $[F_i:F_{i-1}]\in\{1,2\}$(Wantzel 1837, §I)。

经过有限步作图后,我们得到一个塔 $\mathbb{Q}=F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_k$,其中每一步的次数都是 $1$ 或 $2$。这正是每一个尺规作图背后的代数骨架,也是旺泽尔据以建立其整套不可能性理论的唯一事实。

下一步将通过把塔中各次数相乘,把这个塔转化为对任意单个可作图数的数值约束。