Lời giải: Chứng minh của Ngô qua thớ Hitchin và định lý giá hình học (2008)

Bổ đề cơ bản là trở ngại lớn cuối cùng để ổn định hóa công thức vết Arthur–Selberg cho các nhóm khử được tổng quát: có nó trong tay, vế hình học của công thức vết cho $G$ có thể viết lại thành tổng các phân bố ổn định trên $G$ và các nhóm nội soi $H$ của nó, đúng như chương trình nội soi của Langlands và Shelstad đã dự đoán từ đầu những năm 1980 (Hales 2011, §7).

James Arthur ngay lập tức dùng công thức vết đã ổn định hóa để hoàn thành phân loại phổ tự đẳng cấu rời rạc của các nhóm cổ điển như $\mathrm{Sp}(2n)$ và $\mathrm{SO}(n)$ theo phổ của $\mathrm{GL}(n)$, công bố thành một chuyên khảo nghiên cứu năm 2013; bổ đề cơ bản cũng là nền tảng cho các tiến bộ tiếp theo trong toàn bộ chương trình Langlands.

Vì công trình này, Ngô Bảo Châu nhận giải Fields năm 2010, và chứng minh — đưa một câu hỏi thuần túy địa phương, $p$-adic đi qua hình học toàn cục của thớ hóa Hitchin rồi quay trở lại — được xem rộng rãi là một trong những ứng dụng sâu sắc nhất của hình học đại số vào lý thuyết số cho đến nay.