解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

设 $\theta = \arccos(1/3)$。利用恒等式 $\cos((n+1)\theta) = 2\cos\theta\cos(n\theta) - \cos((n-1)\theta)$ 通过归纳法可证明,对每个 $n \ge 1$ 都有 $\cos(n\theta) = a_n/3^n$,其中 $a_n$ 是满足 $3 \nmid a_n$ 的整数:基础情形 $a_1 = 1$ 显然成立,而递推式 $a_{n+1} = 2a_n - 9a_{n-1}$ 给出 $a_{n+1} \equiv 2a_n \pmod 3$,由于 $2$ 模 $3$ 可逆,只要 $a_n$ 不为零,这就永远不会是 $0$。

现在反证,假设 $\theta/\pi = p/q$,其中 $p, q$ 为整数且 $q \ge 1$。那么 $q\theta = p\pi$,于是 $\cos(q\theta) = \cos(p\pi) = (-1)^p = \pm 1$。但引理给出 $\cos(q\theta) = a_q/3^q$ 且 $3 \nmid a_q$,这迫使 $a_q = \pm 3^q$——由于 $q \ge 1$,这显然是一个能被 $3$ 整除的整数,与 $3 \nmid a_q$ 矛盾。这一矛盾表明 $\theta/\pi$ 是无理数,即在 $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}$ 中 $[\theta] \ne 0$。

这个论证(本质上是现在所称的关于 $\pi$ 有理数倍处三角函数有理值的Niven定理在 $\cos\theta = 1/3$ 情形下的特例)正是下一步计算正四面体 $\operatorname{Dehn}$ 值所缺少的关键一环。