解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

第 3/7 步：可加性:该不变量在剖分下不变

通俗地说

当你把一个立体切成若干碎片时,每一次新的切割都会在立体内部产生新的边,但这些新边总是成对(或成小组)出现,它们的二面角之和恰好等于一个平角 $\pi$ 或一个整圈 $2\pi$ ——这些角是 $\pi$ 的有理数倍,因此在Dehn的记账方式中会消失。这正是Dehn把不变量设计为在模 $\pi\mathbb{Q}$ 下运作的原因:无论切割制造出怎样一团新的内部边,它们都绝不会给总和增添任何东西。

P = P_1 \sqcup \cdots \sqcup P_k \implies \operatorname{Dehn}(P) = \sum_i \operatorname{Dehn}(P_i)

详细分析

若将 $P$ 切割成有限个多面体碎片 $P_1, \ldots, P_k$ 并重新拼成 $Q$ ,直接验证(追踪每条新内部边贡献的角度对之和为 $2\pi$ 或 $\pi$ ,在模 $\pi\mathbb{Q}$ 下消失,以及每条原边的角度如何在各碎片间可加地分裂)可得 $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_i \operatorname{Dehn}(P_i) = \operatorname{Dehn}(Q)$ 。因此 $\operatorname{Dehn}$ 与体积一样在剪拼全等下不变——但它携带着严格更多的信息。

本步骤用到的知识

多面体及其体积