解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

对正四面体而言,其六条边中每一条的二面角都等于 $\theta = \arccos(1/3)$,第5步已证明它作为 $\pi$ 的倍数是无理的,因此在 $\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q}$ 中 $[\theta] \ne 0$;由于六条边长度均等于同一正数 $\ell$,故 $\operatorname{Dehn}(\text{tetrahedron}) = 6\ell \otimes [\theta]$,而这在 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ 中非零,因为 $\ell \ne 0$ 与一个非零类 $[\theta]$ 相配对,在 $\mathbb{Q}$ 向量空间的设定下,这样的张量除非两个因子之一为零,否则不会坍缩为零。

由于 $\operatorname{Dehn}(\text{cube}) = 0 \ne \operatorname{Dehn}(\text{tetrahedron})$(第4步与本步之比较),且 $\operatorname{Dehn}$ 是剖分不变量(第3步),任何立方体都不可能与体积相同的正四面体剪拼全等——这就否定地回答了希尔伯特第三问题,并表明与多边形的二维华莱士–波尔约–格尔文定理不同,体积本身并不能在三维中确定剪拼全等类。