解法：Dehn不变量:四面体与立方体不是剪拼全等的(1900年)

对多面体 $P$,设 $\ell(e)$ 与 $\theta(e)$ 分别为每条边 $e$ 的长度与二面角。Dehn 定义 $\operatorname{Dehn}(P) = \sum_e \ell(e) \otimes [\theta(e)]$,它是张量积 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$(长度按 $\mathbb{Q}$ 双线性配对,角度取模 $\pi$ 的有理数倍)中的一个元素。取模 $\pi\mathbb{Q}$ 是关键所在:这使得 $\pi$ 的有理数倍不产生任何贡献,与角度之和为平角或周角不应妨碍剖分这一事实相符。

张量积 $\otimes_{\mathbb{Q}}$ 正是让这成为一个真正、可核验的不变量,而不是一对笨拙数字的原因:它规定 $\ell \otimes [\theta_1 + \theta_2] = \ell \otimes [\theta_1] + \ell \otimes [\theta_2]$,以及对有理数 $q$ 有 $(q\ell) \otimes [\theta] = \ell \otimes [q\theta]$,使得长度与角度的相互作用恰如一个双线性配对,并且 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ 中的两个元素可以用 $\mathbb{Q}$ 上普通的线性代数来比较是否相等。

下一步说明,为什么这种把长度与角度以此方式组合、并在所有边上求和的东西,配得上被称为不变量:它在多面体被切割成碎片再重新拼合时不应改变。