Lời giải: Dòng Ricci có phẫu thuật của Perelman (2002–2003), tóm lược

Đi ngược từ $T_{\mathrm{ext}}$ qua hữu hạn lần phẫu thuật, mọi mảnh độ cong cao đã bị loại bỏ đều vi phôi với một dạng không gian cầu $S^3/\Gamma_i$, $S^2\times S^1$, hoặc $\mathbb{RP}^3\,\#\,\mathbb{RP}^3$, và hoàn tác các phẫu thuật theo mặt cầu $2$ chiều sẽ ráp lại $M^3$ thành tổng liên thông của các mảnh như vậy.

Khi $\pi_1(M^3)=0$, định lý van Kampen buộc mọi $\Gamma_i$ phải tầm thường (nếu không $\pi_1$ sẽ chứa một nhóm con không tầm thường) và loại bỏ mọi hạng tử $S^2\times S^1$ (vốn có $\pi_1$ vô hạn), chỉ còn lại tổng liên thông của các bản sao $S^3$.

Một tổng liên thông của các mặt cầu 3 chiều tròn vi phôi — và do đó đồng phôi — với $S^3$, hoàn tất chứng minh rằng mọi đa tạp 3 chiều đóng đơn liên đều đồng phôi với $S^3$: giả thuyết Poincaré.