解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

第 7/8 步：

A_5

单且非交换,因此

S_5

不可解

上一步下一步

通俗地说

试图把 $S_5$ 拆解成一叠简单、交换的齿轮箱,几乎立刻就撞上了一堵墙:唯一能剥离出来的非平凡子群是偶置换群 $A_5$ ,而 $A_5$ 本身是一整块无法再拆的实心积木——它根本没有更小的正规部件,而且顽固地不满足交换律。只要这叠积木中有一块无法拆解、又不交换,就足以让整个群失去“可解”的资格。

1 \triangleleft A_5 \triangleleft S_5 \text{ is the only composition series}, \quad A_5 \text{ simple, non-abelian}, \; |A_5| = 60

详细分析

要使第5步的判据得出一般五次方程不可用根式求解的结论, $S_5$ 本身必须不是可解群。当 $n\ge5$ 时,对称群 $S_n$ 恰好只有一个非平凡的真正规子群,即交错群 $A_n$ (偶置换构成的群),因此 $1\triangleleft A_n\triangleleft S_n$ 是唯一可能的合成列。当 $n\ge5$ 时, $A_n$ 是单群——除了它本身和 $\{1\}$ 之外没有任何正规子群——并且它不是交换的(例如在 $A_5$ 中,两个不同的 $3$ 阶轮换通常并不可交换)。一个单的非交换群在次正规链中永远不能被换成更小的东西,因此链 $1\triangleleft A_5\triangleleft S_5$ 无法被细化成只有交换商的链:商 $A_5/1\cong A_5$ 本身就是非交换的。因此 $S_5$ 不是可解群。

本步骤中的术语

交错群: 由 $n$ 个对象的偶置换(由偶数次对换构成的置换)组成的群 $A_n$ ;它在 $S_n$ 中的指数为 $2$ 。
单群: 除平凡群和自身之外没有其他正规子群的群——无法被拆解成更小的正规部分。

本步骤用到的知识

群论