解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

第 4/8 步：可解群:总是以交换步骤收尾的链

通俗地说

设想把一台复杂的机器拆解成一叠越来越简单的齿轮箱,而这叠齿轮箱中的每一个单独拿出来看,都表现得像一个基本的、可交换的旋钮(先左转再右转,和先右转再左转结果相同)。一个群被称为“可解”,恰恰是指它可以被这样拆解成这样一叠东西,无论需要多少层。

G \text{ solvable} \iff \exists\; 1 = G_r \triangleleft G_{r-1} \triangleleft \cdots \triangleleft G_0 = G \text{ with each } G_i/G_{i+1} \text{ abelian}

详细分析

一个群 $G$ 被称为可解,是指存在一条子群链 $1=G_r\triangleleft G_{r-1}\triangleleft\cdots\triangleleft G_0=G$ ,每一项都在上一项中正规,且相继的商群 $G_i/G_{i+1}$ 都是交换(阿贝尔)的。这恰好就是第3步的对应从根式塔中产生出的形状:那里构造出的子群链 $G=H_0\ge H_1\ge\cdots\ge H_m=1$ 具有交换(实际上是循环)的商 $H_{i-1}/H_i$ ,因此只要 $f$ 可用根式求解, $G$ 就是可解的。

本步骤中的术语

可解群: 可以通过一条正规子群链分解成具有交换商的若干步骤的群;这个名称正是直接来自把它与用根式求解方程联系起来的这条定理。
商群: 由群 $G$ 和正规子群 $N$ 构造出的群 $G/N$ ,做法是把相差一个 $N$ 中元素的那些元素视为相同。

本步骤用到的知识

群论