解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

对一个正规(伽罗瓦)扩张 $E/F$ 而言,满足 $F\subseteq K\subseteq E$ 的中间域 $K$ 与 $G=\mathrm{Gal}(E/F)$ 的子群 $H$ 之间存在一个一一对应、且反转包含关系的对应:域 $K$ 对应于逐点固定 $K$ 的自同构构成的子群 $\mathrm{Gal}(E/K)$,而子群 $H$ 对应于它的不动域。把这个对应用到第2步精细化后的根式塔上,就把域链 $F=K_0'\subseteq K_1'\subseteq\cdots\subseteq K_m'=E$ 转化为一条子群链 $G=H_0 \ge H_1 \ge \cdots \ge H_m=1$,其中每个 $H_i$ 都是 $H_{i-1}$ 的正规子群,商群 $H_{i-1}/H_i \cong \mathrm{Gal}(K_i'/K_{i-1}')$ 是循环群。