解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)

第 2/8 步：把根式塔精细化为一条循环伽罗瓦扩张链

通俗地说

一次只添加一个根式搭建的楼梯是参差不齐、难以对称地分析的,除非先给每一级都装上扶手:添加足够多的单位根(形如满足 $\zeta_n^n=1$ 的 $\zeta_n$ 这样的数),就能使楼梯的每一级都变成一个正规、对称的扩张,其自同构群像钟面一样简单——是循环群。

F = K_0 \subseteq K_0(\zeta_{n_1}) \subseteq K_1' \subseteq \cdots \subseteq K_m', \qquad \mathrm{Gal}(K_i'/K_{i-1}') \cong \mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}

详细分析

按照伽罗瓦及后来阐述者们所用的策略(可参见维基百科“阿贝尔–鲁菲尼定理”条目中总结的域论重述),一个根式塔未必是正规的,因此在应用伽罗瓦理论之前,需要在每一层(若缺少的话)添加一个本原 $n_i$ 次单位根 $\zeta_{n_i}$ ,再取正规闭包。精细化后的塔仍然终止于一个包含 $f$ 全部根的域,但现在每一个单独的步骤 $K_i'/K_{i-1}'$ 都是正规扩张,其伽罗瓦群是阶整除 $n_i$ 的循环群——这正是一个经典事实:在单位的 $n$ 次根已经存在的前提下,添加某元素的 $n$ 次根会产生一个循环的自同构群(自同构只是把新的根乘上一个单位根)。

本步骤中的术语

单位根: 满足 $\zeta^n=1$ (某个正整数 $n$ )的数 $\zeta$ ;本原 $n$ 次单位根是使这个指数最小的 $n$ 。
正规扩张: 只要包含某个不可约多项式的一个根,就包含它全部根的域扩张——没有任何根被落下。
循环群: 由单个元素生成的群,使得每个元素都是这个生成元的某个幂——结构简单得就像钟面上的时刻。

本步骤用到的知识

伽罗瓦理论