解法：阿贝尔–鲁菲尼定理与伽罗瓦可解性判据(1824年)
通俗地说
第1到第4步搭建了一座单向的桥: 的一个根式公式会产生一个可解的伽罗瓦群。伽罗瓦真正的洞见在于这座桥也能反向通行——从一个可解群出发,总能构造出根式公式,本质上是把之前的构造反过来做(经典做法是使用拉格朗日预解式,即用单位根加权的根之和)。于是,一个关于方程、一个关于群的两种说法,原来只是同一个事实的两面。
详细分析
把第1到第4步合起来,得到一个方向:若 可用根式求解,则其伽罗瓦群是可解的。伽罗瓦也证明了反方向——从一个可解的伽罗瓦群出发,可以重新构造出一个根式塔,其最顶层的域包含全部根——于是这两个条件恰好重合,得到伽罗瓦判据: 可用根式求解当且仅当 是可解群。这一判据由伽罗瓦在1830至1832年间提出,并在他去世后于1846年发表,把一个关于公式的问题变成了一个关于置换群结构的纯粹有限的问题。