Lời giải: Chứng minh $\pi$ siêu việt của Lindemann giải quyết bài toán cầu phương hình tròn (1882)
Chứng minh gốc năm 1882 của Lindemann phức tạp và khó theo dõi ngay cả với các nhà toán học chuyên nghiệp. Trong thập kỷ tiếp theo, Karl Weierstrass (1885), rồi David Hilbert, Adolf Hurwitz, và Paul Gordan độc lập với nhau (1893), tìm ra những con đường ngắn gọn, sạch sẽ hơn tới cùng kết luận đó — phiên bản gọn nhẹ được dạy trong các khóa học ngày nay bắt nguồn từ những bản đơn giản hóa của họ, chứ không phải lập luận gốc của Lindemann.
Với việc cầu phương hình tròn được giải quyết năm 1882, cả ba bài toán dựng hình 'bất khả thi' vĩ đại thời cổ đại — chia ba góc, gấp đôi khối lập phương, và cầu phương hình tròn — cuối cùng đã được chứng minh là bất khả thi, khép lại những câu hỏi mà cả nhà toán học chuyên nghiệp lẫn nghiệp dư đã tấn công suốt hơn hai nghìn năm.
Lập luận năm 1882 của Lindemann, dù đúng, bị đánh giá rộng rãi là khó theo dõi; trong vòng một thập kỷ Karl Weierstrass (1885) đưa ra một cách xử lý gọn gàng hơn, và phiên bản của Weierstrass sau đó được David Hilbert, Adolf Hurwitz, và Paul Gordan độc lập đơn giản hóa thêm vào năm 1893, dùng cách quản lý hàm đối xứng có hệ thống hơn. Chính dòng lập luận đơn giản hóa Hilbert–Hurwitz–Gordan này, chứ không phải bài báo gốc năm 1882 của Lindemann, mới là nền tảng cho hầu hết các trình bày trong sách giáo khoa hiện đại về định lý (kể cả phiên bản được tóm tắt ở Bước 2–4 ở đây).
Kết quả này cũng có tác động trực tiếp bất thường lên một câu hỏi mở hai nghìn năm tuổi ngoài toán học thuần túy: tới năm 1882, các chứng minh bất khả thi năm 1837 của Wantzel cho chia ba góc và gấp đôi khối lập phương, cùng với chứng minh siêu việt của Lindemann, có nghĩa là cả ba bài toán dựng hình cổ điển thời cổ đại bằng thước kẻ và compa đều đã được giải quyết chặt chẽ là bất khả thi — cầu phương hình tròn là khó nhất, vì nó đòi hỏi một công cụ thực sự mới (lý thuyết siêu việt) thay vì các lập luận bậc trường đại số đã đủ dùng cho hai bài toán kia.
Phương pháp siêu việt của Lindemann cũng mở ra một hướng nghiên cứu bền vững: nó được mở rộng vào năm 1900 bởi bài toán thứ bảy của Hilbert (liệu các số như có siêu việt không?), cuối cùng được Gelfond và Schneider giải quyết vào năm 1934, cho thấy tầm với của kỹ thuật hàm phụ mà Hermite dùng lần đầu năm 1873 còn vươn xa vượt xa câu hỏi cầu phương hình tròn ban đầu.